一 数学归纳法板书设计及意图

数学归纳法教学设计

一

、教材分析

1、教学内容：数学归纳法是人教版数学选修的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第1课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

二、学情分析

学生已经在必修5中学习了不完全归纳法(推导等差、等比数列的通项公式)；在本章的合情推理中已经学习了归纳推理，在演绎推理中学习了“三段论”．这些内容的学习是学生理解推理思想和证明方法的重要基础．因此，教学中通过类比的方法，引导学生理解数学归纳法的本质．

素质教育的一个根本任务就是教会学生怎样学习.因此本节课注重调动学生积极思考、主动探索，激发学生思维，尽可能为学生发挥他们的聪明才智提供必要的条件、增加活动的时间和空间，为此进行了以下学法指导：

1 问题切入，自主探索，主动发现 学生在整个教学过程中始终是认识的主体，引导学生积极参与课堂，学会发现问题，提出问题，养成善于独立思考和主动探索的学习习惯；

2观察分析

引导学生学会观察问题、分析问题和解决新问题；

3合作学习

发展学生的合作意识和合作能力，促进学生的高水平的思维和学习活动，使学生在交流过程中得到更深层次的理解.同时合作学习还能使教学适应不同能力水平的学生，增强平等意识，促进相互理解. 4总结归纳

引导学生抓住重点，掌握方法. 三、三维目标

1.知识与技能

（1）了解归纳法，理解数学归纳

法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2.过程与方法

通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生严谨的逻辑推理意识，并初步掌握论证方法。

3.情感态度价值观

通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。

四、教学重点与难点

1.重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

2.难点：学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的

递推关系。

五、教学内容与过程

（一）创设问题情境

情境1

法国数学家费马观察到：

2215,22117,221257,22165537 归纳猜想：任何形如221

（n∈N）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数F52216416700417不是质数,从而推翻了费马的猜想。——“不完全归纳有时是错误的”

（设计意图：培养学生大胆猜想的意识和数学概括能力，概括能力是思维能力的核心。）

情境2 已知数列a满足a1,an1134n*5n1anN,通过对n1,2,3,4前4项归1an*n纳，猜想an1，可以让学生通过数列的知识加以验证——“不完全归纳有时是正确的”。

n通过对上述两个情况的探究可以发现用“不完全归纳法”得到的结论不一定可靠。

为了寻求一种能够证明与正整数有关的数学问题的方法，从而引入本节课的新课内容一数学归纳法。

（二）搜索生活实例，激发学习兴趣

1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：（探究“多米诺骨牌”全部倒下的条件）

提问1：满足什么条件能使所有的骨牌全部倒下？

（把学生按前后四个同学分组，每组选一个代表发言，讨论时间大约3分钟左右）

学生代表发言（老师在黑板上书写）：

条件1：第一块要倒下; 条件2：当前面一块倒下时，后面一块必须倒下. 提问2：其它组还有其它意见吗？（给学生提出的条件，老师进行归纳整理）

提问3：是否满足这两个条件就可以保证所有的骨牌倒下？给出推理（播放幻灯片）：

第1块倒下,第2块倒下, 第3块倒下,…第n块倒下…所有的骨牌全部倒下。

从而，引导学生思考并分析“多米诺骨牌”全部倒下的两个条件；

①第一块骨牌倒下；

②任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

强调条件②的作用：是一种递推关系（第k块倒下，使第k+1块倒下）。

2、类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境2中对于通项公式an1的猜想。

n1，则

k“多米诺骨牌”原理 ①第一块骨牌倒下；②若第k块倒下，则使得第k+1块倒下

验证猜想

①n1验证猜想成立；

②如果nk时，猜想成立。即ak当nk1时，ak1akak11k11k1即nk1时猜想成立。

k1推广：

多米诺骨牌游戏的原理

(1)第一块要倒下

(2) 当前面一块倒下时，后面一块必须倒下; 与正整数有关的数学命题

(1)时命题成立

成立，则时接结论也成立。

根据(1)和(2),可知无论多少块骨牌都能全部倒下

3、引导学生概括： 证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：

(1)证明当n取第一个值n0时结论正确；（归纳奠基）

(2)假设当n＝k (k∈N，k≥n0) 时结论正确, 证明当n＝k＋1时结论也正确．（归纳递推）

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确．这种证明方法叫做数学归纳法．

（三）应用新知

*(2)假设根据(1)和(2),可知对任意的正整数n，命题都成立。

n(n1)(2n1)

61(11)(211)2证明：（1）当n=1时，左边11，右边，等式成立。

6k(k1)(2k1)2222（2）假设当n=k时，等式成立，即123k

6例1.用数学归纳法证明123n2222则当n=k+1时，左边=122233k2k1

2

k(k1)(2k1)1(k1)2(k1)k(2k1)6(k1)66

11(k1)(2k27k6)(k1)(k1)12(k1)166=右边

*即当n=k+1时等式也成立。

13由（1）、（2）可知，n∈N时，等式成立。

【变式练习1】用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝n(n1)(n2)

例2．用数学归纳法证明：1＋（四）小结

1、数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。

2、两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不能成立；

3、在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换。

4、完成第1)、2）步骤的证明后，要对命题成立进行总结。

（五）课后作业

1111．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n1)时，第一步应验证不等式(

) 232－111111111A．1＋<2

B．1＋＋＜2

C．1＋＋＜3

D．1＋＋＋＜3 22323234[答案]

B 2．用数学归纳法证明1＋a＋a＋…＋a所得的项为(

) A．1

B．1＋a＋a2

C．1＋a

D．1＋a＋a2＋a3

[答案]

B[来源学科网]111＋＋…＋<2n(n∈N*)．

23n2n＋11－an2＝(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边1－a＋

3．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(

) A．当n＝6时该命题不成立

C．当n＝4时该命题不成立

[答案]

C 4.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为(

) B．当n＝6时该命题成立

D．当n＝4时该命题成立

2k＋12k＋3A．2k＋1

B．2(2k＋1)

C．

D．

k＋1k＋1[答案]

B 11111235．已知数列，，，…，，通过计算得S1＝，S2＝，S3＝，由此可猜2341×22×33×4nn＋1测Sn＝________.[答案]

n

n＋1111111116．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，第一步应验证2342n2n－12nn＋1n＋211的等式是________．[答案]

1－＝

2212227.用数学归纳法证明：1335n2n(n1),nN* (2n1)(2n1)2(2n1)8．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．

[解析]

当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，

当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，

由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立

下面用数学归纳法证明：

(1)当n＝1时，[来源:Z|xx|k.Com]左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．

(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，

即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. ＋又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k1＋2>(k＋＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．