1.3 实习作业教案1

2017-2018-2

大同一中

高一年级

数学（必修五）

正弦定理

教案

1.1.1 正弦定理

授课班级：高一493班

授课时间：2018.04.19 第四节

授课人：张思卿

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教材分析

本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修五（A）版》第一章中的1.1.1正弦定理。正弦定理以及之后的余弦定理是刻画三角形边和角关系的基本定理，也是最基本的数量关系之一。本节内容起到承上启下的作用，是初中锐角三角函数、解直角三角形的拓广与延续，即对“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”这一定性知识的定量解释。同时为后续第二节《应用举例》做铺垫，正弦定理及之后的余弦定理的知识和方法可解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，也体现了应用价值。

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学情分析

学生在初中已经学习了锐角三角形及直角三角形知识，掌握了基本的定量的三角知识，为本节课的学习打下了良好的基础。学生欠缺的是怎么利用已拥有的旧知识来推导新知识。

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教学目标

一、知识与技能

1.掌握正弦定理的内容及证明方法；

2.能运用正弦定理解决最基本的解三角形问题：已知任意两角与一边，求其他边与角. 二、过程与方法

1.让学生从已有的几何知识出发，探究任意三角形中边与其对角的关系；

2.让学生经历由特殊到一般的思维过程，推出正弦定理. 三、情感、态度与价值观

通过学习，培养学生探索数学规律的思维能力.

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教学重难点

教学重点：正弦定理的推导与基本应用

教学难点：正弦定理的推导与证明

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教学基本流程

利用三角形的高推出正弦定理

利用三角形面积证明正弦定理

利用外接圆证明正弦定理

正弦定理的应用：已知任意两角与一边求其它角与边

正弦定理内容的分析

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正弦定理

教案

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教学设计

一、引入新课

必修五第一章内容为“解三角形”，初中接触过“解直角三角形”，高中将升级至“解任意三角形”。什么是解三角形？

1.

三角形的元素：一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。

2.

解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。

本节要学习的“正弦定理”是解三角形的基本工具。

二、新课讲解

正弦定理是关于三角形中的边角关系的定理，首先尝试推导正弦定理。

（一）利用三角形的高推出正弦定理

1.

当ABC为直角三角形时

ab,sinB

ccabc

所以sinAsinBabc又因为sinC1，所以

sinAsinBsinC因为sinA这样的式子能否推广至任意三角形？

2.

当ABC为锐角三角形时

有sinBADAD,sinC

cbbc

sinBsinC所以csinBbsinC，所以ab

sinAsinBabc作BC边上的高AD

所以

sinAsinBsinC3.

当ABC为钝角三角形时

同理，由学生自己去尝试验证abc对于钝角三sinAsinBsinC角形仍然成立：

与锐角三角形的情况类似，作三角形的两条高，将三角形的边与角用高联系起来即可。

（二）正弦定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

sinAsinBsinC（三）利用三角形面积证明正弦定理

作三角形三条边上的高AD,BF,CE

思考：如何用三角形的边和角来表示高？

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11aADacsinB

2211BFasinACBSABCbBFbasinC

2211CEbsinBACSABCcCEcbsinA

22sinBsinCsinAabc所以

bcasinAsinBsinCADcsinABCSABC（四）利用外接圆证明正弦定理

正弦定理更完整地表述：abc2R（R是ABC外接圆半径）

sinAsinBsinC

sinCsinC'cc2R

2RsinCbbsinBsinB'2R

2RsinBaasinAsinA'2R

2RsinA（五）正弦定理的应用（已知任意两角与一边）

【例一】

在ABC中，c10,A45o,C30o，解三角形

解：因为c10,A45o,C30o，所以B105

oaccsinA102

，得asinAsinCsinCbccsinB5652

由，得bsinBsinCsinC

由

所以a102,b5652,B105o

【分析】正弦定理可以解决已知三角形中任意两角和一边，求其他元素的问题。

（六）正弦定理内容分析

abc2R（R是ABC外接圆半径）

sinAsinBsinC四个式子连等的形式，可分别去考虑：

1.

abacbc

sinAsinBsinAsinCsinBsinC正弦定理的应用除了有“已知任意两角与一边求其他元素”，还有“已知任意两边与其中一边的对角求其他元素”，第二种应用今后的学习中再研究。

2.

abc2R

2R

2R

sinAsinBsinC111absinCacsinBbcsinA

222由此可进行边角转化

3.

三角形面积公式：SABC

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三、课堂小结与思考

abc2R（R是ABC外接圆半径）

sinAsinBsinC强调定理内容的结构特点，并留一个思考问题：

思考：在ABC中，c6,A45o,a2，解三角形

四、课后作业

完成学案“目标检测”

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