1.3 二项式定理（通用）教案公开课一等奖

二项式定理的应用

孝义四中 侯玲玲

教学目标

： 1、熟练掌握二项式定理及其通项公式；

2、熟练掌握二项式定理的基本问题―通项公式及其定理的应用。

能力目标：提高学生的分析能力，深化学生的思维能力。

情感目标：在教学中体会数学之美，激发学生学习数学的信心。

考情分析：对于二项式定理，从考查形式上，高考题常以选择题和填空题的形式出现。从题目数量上看，每套高考题中只有1个小题。从难度上，主要以中、低难度为主。从考查方式上，既有正向考查，又有逆向考查，更有灵活考查。从题型上主要有：求常数项、求特定项、求有理项、求系数（或二项式系数）最大（或最小）项、整除或余数问题、赋值法求相关代数式的值、综合应用等。

学习目标：目标1：熟练掌握二项展开式的通项公式

目标2：会求展开式中的特定项或特定项的系数

目标3：会求形如(ab)m与(cd)n式子中与特定项相关的量

目标4：会求形如(abc)m展开式中特定项或特定项的系数

教学过程: 复习相关知识

n1n－11n－kkn*1.

二项式定理：(a＋b)n＝C0b＋…＋Ckb＋…＋Cnna＋Cnananb(n∈N) 122(1x)n1+CnxCnxnnCnx

n－kk二项展开式的通项公式：Tk＋1＝Ckb，它表示第k＋1项

namAnn(n1)(n2)CmAmm!mn(nm1)nm!(nm)!(m,nN*,且mn）

2.

组合数的性质：

12nnmn－mC0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2. Cn＝Cn. (学生回答)

1.

(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是( D ) A．Cmn －1C．Cmn ＋1B．Cmn

－1D．(－1)m－1Cmn

2.

已知(x＋1)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中第4项为 教师强调：1. 第4项与第8项的二项式系数表示易错；

2. (x＋1)n能否换为(1＋x)n？

1

n－kk注：运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Ckb，，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然na相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题。

考点1. 二项式定理的逆用

123例：CnCn6Cn62nCn6n1 012解：(1+6)nCnCn6Cn62nCn6n与已知的有一些差距，123CnCn6Cn62nCn6n1

112n=(Cn6Cn62Cn6n)61012n(CnCn6Cn62Cn6n1)611nn(16)1(71)66

123n练：1Cn3Cn9Cn(3)n1Cn (学生板演) 考点2. 求展开式中的特定项或特定项的系数

例(2016·全国Ι卷) (2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______．

解析：(2x＋x)展开式的通项公式Tk1C(2x).(x)C25k55kkk55kx5k2, k∈3{0,1,2,3,4,5}，令5－＝3，解得k＝4，得T5C2245k54x54210x3,∴x的系数是10. 练：若(2x解析：

因为(2)21n)的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 x1nx－的展开式的二项式系数之和为64，

x所以2n

＝64，所以n＝6，

由二项式定理的通项公式可知

1r6－rr6－rrr3－rTr＋1＝C6(2x)－＝2(－1)C6x，

x当r＝3时，展开式的常数项为：23(－1)3C36＝－160. 1

答案：(1)2

(2)－160

2

（展台展示，总结点评）

方法总结：利用通项Tr＋1 求解(有时还需先求n) 考点3.求形如(ab)m(cd)n式子中与特定项相关的量

例(2017·全国Ⅰ卷) (1(提问-引导-总结) 1)(1x)6的展开式中，x2的系数是________ 2x练：　(1x)3(1x)9的展开式中x5的系数为？

解法1：

(1x)313x3x2x3(1x)3(1-x)9(13x3x2x3)(1-x)9(1x)3(1-x)9的展开式中x5的系数为53C9(1)53C94(1)43C9(1)3C92(1)236

解法2：

(1x)3的展开式的通项为Tk1C3kxk(k0,1,2,3)

r(1x)9的展开式的通项为Tr1C9(x)r(r0,1,2,9)

(1x)3(1-x)9的展开式中的项由Tk1Tr1得到

又Tk1Tr1C3kC9r(1)rxkr

k0k1k2k3令

kr5即或或或r5r4r3r2

05142332x5项的系数为C3C9C3C9C3C9C3C936

39解法3：(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)(1x)

9个

5第一类，前3个因式都取1，后9个因式中5个取-x,得到的项为C9(x)5

14第二类，前3个因式中1个取x，后9个因式中4个取-x,得到的项为C3xC9(x)4

223第三类，前3个因式中2个取x，后9个因式中3个取-x,得到的项为C3xC9(x)3

332第四类，前3个因式中3个取x，后9个因式中2个取-x,得到的项为C3xC9(x)2

5142332x5项的系数为C9C3C9C3C9C3C936

方法总结：第一步：分别写出(ab)m与(cd)n的二项展开式的通项；

第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由(ab)m与(cd)n

的展开式中的哪些项相乘得到；

第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题.

3

考点4.求形如(abc)n展开式中特定项(或系数) 例(2015·课标全国Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为 （引导-提问）

解法一

利用二项展开式的通项公式求解．

232(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，

含y2的项为T3＝C25(x＋x)·y. 415其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·x＝C3x. 1所以x5y2的系数为C25C3＝30. 解法二

利用组合知识求解．

(x＋x＋y)为5个x＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x，

2一个取x即可，所以x5y2的系数为C25C3＝30. 2522思考？（课后作业）

求(x23x4)4的展开式中x的系数？（-768）

2(x解法1：同上法1(x23x4)43x)4或

4解法2：利用组合知识求解

解法3：

方法技巧

小结：二项式问题求解通法就是利用通项整理得出。

板书设计: 考点1 例 练 考点2 例 练 方法总结

考点3 例 练 方法总结 考点4 例 练 方法总结

4 (x23x4)4(x1)(x4)(x1)4(x4)4

4逐层展开法

将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题. 组合知识法

把(a+b+c)

看成n个(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成. n因式分解法

将三项式利用因式分解变为两个二项式，然后再用二项式定理求解问题.