信息技术应用 估计√2的值含PPT的教学设计及点评

《等差数列前n项和》（第1课时）教学设计

四川省巴中中学 肖

斌

一、内容和内容解析

1.教学内容

《等差数列前n项和》（第一课时

）选自高中新课标人教A版必修五第二章第三节，本节课的教学内容是等差数列前n项和公式探究及其简单应用。

2.地位与作用

本课时内容是等差数列的定义、通项公式、基本性质的延伸和发展。该公式是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（比如函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

二、目标分析

1. 知识技能

使学生掌握等差数列的前n项和公式及推导过程，初步掌握公式的应用。

2. 数学方法

通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、类比、归纳、综合及逻辑推理能力。

3. 情感态度

通过生动具体的实际问题，有趣的数学历史故事，激发学生求知的欲望和探究的热情，树立学生求真的勇气和自信，体验发现问题、解决问题的科学方法。

三、教学问题诊断

(一)学情分析

1.知识基础和能力水平

高一年级学生已掌握了函数、数列等相关基础知识；已初步具有抽象能力、逻辑思维能力、计算能力，能在教师的引导下独立地解决一定问题。

2.任教班级学生特点

我任教的高一两个理科重点班的学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。

(二)教学重点、难点

1. 重点

等差数列前n项和公式的推导和应用。

2. 难点

等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。

3.重、难点破解策略

以“欣赏、推导、应用、深化”为主线；

以“从生活到数学，从特殊到一般，从具体到抽象”为灵魂；

以“三个公式推导→两个几何解释→一个拓展探究”为特色。

突出重点，突破难点

四、教学条件支持

(一)教学辅助

借助互联网资源整合, 借用视频、多媒体辅助教学，形象直观,

使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

(二)学法指导

本节课主要是教给学生“动手算、动眼看、动脑想、动口说、善提炼、勤钻研”的研讨式学习方法，使学生真正成为教学的主体。只有这样做，才能使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有新“获”

。

(三)教法分析

本节课采用“诱思探究教学法”。把问题作为出发点，指导学生“算、看、悟、用、拓”。较好地完成了等差数列前n项和公式的推导及应用。

五、教学过程设计

教学环节及时间分配：

宝石激趣

特例探路

（2分钟）

改进算法

推导公式

（10分钟）

公式剖析

指导记忆

（3分钟）

归纳总结

理论升华

（2分钟）

（一）宝石激趣，特例探路

拓展探究

发散思维

（6分钟）

应用公式

议练互动

（16分钟）

【设计意图】以泰姬陵的宝石激趣，以高斯的算法探路，环环相扣、步步深入，得到新法：倒序相加法。趁势我鼓动学生

再当一回“小高斯”开始等差数列的前n项和的探究、发现之旅。

（二）倒序相加

推导公式

问题一:

抛出方向性问题

如何求等差数列｛an｝的前n项和Sn? 一般的，我们称a1a2a3......an新概念:

为数列an的前n项和,用Sn表示，即:

Sna1a2a3......an

思路一

（用倒序相加法及等差数列的对称性做的处理）

Sna1a2an1an

Snanan1a2a1

两式相加得：

n

Sn(a1an)2

思路二

（教材用倒序相加法及通项公式）

Sna1(a1d)...[a1(n1)d]

Snan(and) ... 

[an(n1)d]

两式相加得：

2Snn(a1an)

n公式1：S(a1an)

n2

【设计意图】公式1反映了等差数列前n项和与它的首项和末项之间的关系，引导学生联想通项公式进行变形。

2Snn(a1an)问题二:

诱导发展性问题,公式1能否变形?

将

通项公式：

a

n



a

1



(

n



1

)

d

，代入公式1得

公式2：Snna1n(n1)d2剖析：公式2反映了等差数列前n项和与它的首项和公差之间的关系

【设计意图】两公式从不同角度反映了等差数列的性质。进而引导学生对公式2按n的降幂排列变形，得出特征式。

问题三:

揭示本质性问题,公式2再能否变形?

于是公式2按n的降幂排列

n(n1)Snna1d

2

dd*n2(a1)*n

22

dd不妨设A，Ba1

22

则SnA*n2B*n

得到公式3特征式：

S

n



A

*

n

2



B

*

n

(A、B为常数)

注：Sn是关于n的二次型函数且缺常数项。

（三）剖析公式

指导记忆

n

(

a

a

)

公式1:Sn

1n2a1

an

an

a1

na1公式2：Sn

n(n1)d2a1(n1)dana1(n1)d

剖析公式1:：1、可以类比梯形面积公式记忆。2、知道首项、末项、项数n，求Sn选用公式1. 剖析公式2:：1、可通过将梯形的面积“分割”为一个平行四边形和一个三角形的面积记忆。2、还可巧用a1S1

强调公式中是n*(n1)，不是n*(n1)。3、知道首项、公差、项数n，求Sn选用公式2 （四）应用公式

议练互动

本课题新课标教科书配备的例题经典新颖、内涵丰富。我深入钻研后决定立足教材，合理挖掘，适度提高，力求达到课堂效果的最优化。

课本例1:

2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网. 据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？

【设计意图】教科书例1的选用，体现了数学来源于生活并服务于生活。主要是培养学生从实际情境中构建等差数列模型，明确：已知首项、公差、项数应选用前n项和第二公式解决问题。

课本例2

已知一个等差数列｛an｝前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?

解法一（学生活动

以首项

、公差为基本量建立方程组）

【设计意图】教科书例2，目的是建立等差数列前n项和与方程（组）思想之间的联系。教科书介绍的解法一是以首项、公差为基本量建立方程组求解的。

解法二（利用等差数列前n项和公式的特征式Sn=An2+Bn求解）

设SnA*n2B*n，则

S10A*102B*10310

2SA*20B*20122020

A3,B1

2S3*nnn

【设计意图】解法二是师生互动，挖掘教材补充的解法，让学生从函数的角度认识特征式的应用价值。

课本例3:

【设计意图】教科书例3，实际上给了一个根据数列前n项和公式判断它是否是等差数列的范例。

S1

(n=1) 具体思路：先用分段表达式：

an=

Sn-Sn-1

(n≥2) 得出通项an。再用定义法，即作差an1an=2,判断该数列为等差数列（强调：先分写，再审查能否合并写）。

鉴于此题典范性，教师在黑板上规范板演详解过程

（五）探究拓展

发散思维

问题四:最后我将抛出一个挑战性问题,也就是课本上最后设置的探究

先引导学生仿照例3自主练习、合作研讨，得出他们的认识，学生可能出现一概为等差数列或一概不为等差数列的片面认识。然后进行点评、纠错。形成完整的、正确的结论。

结论：（1）当r=0时，一定是等差数列，首项a1pq,公差d2p(d0)；

（2）当r≠0时，这个数列不是等差数列，但从第2项起成等差数列。

（3）这里还可以深入挖掘,如果去掉已知条件中的p≠0，当p=0时,是常数列,即此时这个数列是公差为0的等差数列。

【设计意图】此处设置的“探究”，实际上是例3的深化。目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列。让学生从数列前n项和公式的结构特征上识别等差数列。

（六）归纳总结

理论升华

1. 一个方法——公式的推导方法:倒序求和法。

2.两个解释——公式1、公式2的几何解释

3.三个公式。

（七）分层作业

强化知识

作业1（必做）：教科书P45第1、2、3题。

作业2（选做）：总结正奇数列、正偶数列求和公式

【设计意图】必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。根据我校的特点，为了促进数学优生的发展，培养他们灵活运用所学知识解决问题的能力，我设计了选做题——总结正奇数列、正偶数列求和公式，实施了分层教学。

（八）数学文学

珠联璧合

数学作文,

走进数学大世界,

师生共写小论文

参考题目：

1、《再当一回“小高斯”——“倒序相加法”的妙用》

2、《等差数列前n项和Sn的“多副面孔”》

3、《等差数列前n项和一定是二次函数吗？》

4、《等差数列前n项和与最新三年高考》

参考范文：等差数列前n项和一定是二次函数吗？

数列是公差不为0等差数列. 是缺少常数项的二次型函数，不一定是二次函数.

板书设计：

3.3 等差数列前n项和

一、公式的推导 三、例题及解答 四、探究议练活动

方法1： 例1 方法2： 方法3： 例2 二、剖析公式： 公式1： 例3 公式2： 公式3：

(主板书

不擦) (副板书

讲后擦) (辅助性板书随写随擦)

六、教学反思

本节课立足课本，适度挖掘，设计合理，层次分明。以“欣赏、推导、应用、深化”为主线；以“从生活到数学，从特殊到一般，从具体到抽象”为灵魂；以“三个公式推导→两个几何解释→一个拓展探究”为特色。把握重点，突破难点。在教学思想上既注重知识形成过程的教学，又特别重视学生学习方法的指导，探究能力的训练，创新精神的培养，引导学生发现数学的美，体验求知的乐趣。

在教学活动中,限于本人的理论水平浅薄、对学情的调研驾驭不足，容量有可能偏大，影响中下学生的理解与接受。还请各位专家、名师批评完善。

《等差数列前n项和》教案说明

四川省巴中中学 肖 斌

本课的教学设计分为六个部分，包括：内容解析，目标解析，教学问题诊断，教学过程设计和教学反思。设计反映了等差数列求和公式推导过程中数学思想方法——倒序相加法的生成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习实际情况，确定了教学活动的环节。下面从如下几个方面进行详细说明。

一、教学内容的数学本质及教学目标定位

本节课要推导的等差数列的前n项和公式的数学本质是寻求Sn与n的一个函数关系式。本节课是《等差数列前n项和》的第一课时，从知识点来说，掌握求和公式对每个学生来说并不困难，而难点是在于如何从求和公式的推导过程中渗透倒序相加求和的思想方法，因此，依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，我首先对学情进行了具体分析，并结合学情分析，制定了本节课的教学目标。

首先,高一年级学生已掌握了函数、数列等相关基础知识,已初步具有抽象能力、逻辑思维能力、计算能力，能在教师的引导下独立地解决一定问题。另外，我还对我任教的高一两个理科班的学生的具体情况做了如下分析：他们基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高。此外，学困生也有一定比例，深度、难度应适可而止。

于是，结合以上的学情分析，我从

“知识技能”、“数学方法”、和“情感态度”设定目标。其中知识技能目标是：使学生掌握等差数列的前n项和公式及推导过程，初步掌握公式的应用。能力目标则是：通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、类比、归纳、综合及逻辑推理能力.并且在过程中渗透了本课的情感态度目标：通过生动具体的实际问题，有趣的数学历史故事，激发学生求知的欲望和探究的热情，树立学生求真的勇气和自信，体验发现问题、解决问题的科学方法。以上是对教学目标定位的说明。 二、学习基础及作用

数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型。人们往往通过离散现象认识连续现象，因此有必要研究数列。高中数列研究的主要对象是等差、等比两类基本数列。

本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的探究及其简单应用，它是等差数列的定义、通项公式、基本性质的延伸和发展。该公式是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（比如函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

本节课教材渗透的数学思想方法有：（

1 ）从特殊到一般的研究方法；（

2 ）倒序相加求和法；（

3 ）基本元表示

的思想。这样，不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发。

三、教学诊断分析

(一)、根据教学经验及学生反馈的信息，在本课的学习中，学生对公式的掌握及简单应用并不困难，而难点在于如何在推导等差数列前n项和的过程中渗透倒序相加的思想方法，这就意味着如何自然地给出倒序相加求和法，是本课设计环节中的一个重点内容。我首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对，但很快遇到问题，即奇偶项数的数列要分别进行讨论，于是这里引导学生观察脚标的特点，从而突破这一难点。但此法不是最好方法，为了实现这一创造过程的自然，设计中联想到宝石问题的例子，引导学生实现从一个数列“配对”的方法发展到两个数列的“配对”，接下来的分析和应用也就水到渠成。

(二)、在对公式的认识中，学生不容易想到将两个公式与梯形面积公式建立联系，此时教师可做适当的提示，一旦给出提示后，学生便能迅速找到二者的关系。认识过程中再次强调倒序相加的思想方法。

(三)、本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

四、教法特点及预期效果分析

本节课设计的指导思想是：现代认知心理学——建构主义学习理论。建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学生应与一定的知识背景即情境相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。本节课采用“诱思探究教学法”。把问题作为出发点，指

导学生“算、看、悟、用、拓”。较好地完成了等差数列前n项和公式的推导及应用。

根据学生具体情况，我力求达到：1 、形成学生主动参与，自主探究的课堂气氛。2、掌握求和公式的方法特点，并能从梯形面积的角度认识公式。3 、提高学生类比化归，数形结合的能力。相信大多数学生都能掌握本课知识，实现预期的目标。但在实际教学中，存在不可预见性.

附:课堂教学评价

观赏此课后,根据教学过程和学生的反馈信息，对本课有如下评价：

本节课教学目标设计定位准确,教学重点难点明确。在教学过程中,以泰姬陵的宝石激趣、以高斯的算法探路,层层深入,诱导新法---倒序相加法。用精美的图片引入，让学生在欣赏世界人文景观和数学历史故事的同时开始等差数列前n项和的探究、发现之旅。

本节课在教学过程中，重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究(2)公式的剖析(3)公式的选用(4)公式的拓展。本节课还特别强调了几何直观，对求和公式给出了几何解释，体现了数形结合的思想方法。

本节课发挥了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去。

本节课凭借多媒体动态演示,对教学情景的设置、对教学例题的解析、对知识内涵的挖掘和外延的拓展,图文并茂、引人入胜。充盈着情趣、理趣、意趣,令人耳目一新,体现出说课人良好的数学理论修养和丰厚的教学实践功力。

“数学命题作文”是本节课的最后一个亮点，但如何展开操作，是一个大家感兴趣的问题,我们期待说课人有实实在在的举动。

评价人:四川省巴中中学高级教师 李小平、涂盛刚