3.1 数系的扩充教学实录与评析

数系的扩充

江苏省梅村高级中学 梅红

教学目标： 知识与技能：（1）了解引进复数的必要性,了解数系发展的过程,了解数的分类; （2）理解复数的基本概念,掌握复数的代数表示；

（3）理解复数zabi是纯虚数的充要条件,掌握复数相等的充要条件. 过程与方法：（1）经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用; （2）感知引进虚数单位i,虚数单位i与实数进行四则运算的合理性; 情感、态度与价值观：

（1）在经历数的概念的发展和数系扩充的过程中,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，体会数学发现和创造的过程以及数学发生发展的客观需求; （2）通过教学方式的改变,营造和谐的课堂氛围,培养学生勇于知疑问难,善于探索的学习习惯和良好的思维品质. 教学重点：复数概念、复数相等的充要条件

教学难点：复数概念的引入，虚数单位的理解. 教学方式：启发式和探究式相结合

教学手段：多媒体演示

教学过程

一、引入

（1）观看大头儿子和小头爸爸的对话，呈现在数学内部数系扩充的必要性；

（2）

当我们还没有学习负数时，我们会认为方程x31在自然数集中是无解的，学习负数后，方程也就有解了，此时自然数集扩充至了整数集；当我们还没有学习分数时，对于方程2x1，我们会认为它在整数集中是无解的，学习分数后，方程就有解了，此时整数集扩充至了有理数集。我们看到在使方程从无解到有解的过程中，数系也得到了扩充，今天我们还是从方程解的角度研究数系的扩充。在有理数集Q上，方程x22无解,我们就引进了一类新数，即无理数,方程有解，从而有理数集就扩充至实数集。而且无理数加入后，不但没有影响有理数集中原本的运算，而且还能和有理数一起进行运算，所得数也在实数集中。

数系扩充到实数集后，是不是就可以使所有实系数方程有解了呢？

数学游戏

①将5分成两部分，使两者乘积为6；

②将6分成两部分，使两者乘积为8；

③将8分成两部分，使两者乘积为10；

④将10分成两部分，使两者乘积为40. 1637年，法国数学家笛卡尔称这类新数为“虚数” , 意与实数相对应. 问题1：方程x21没有实数解，请你设计一种方法，使其有解。

二

建构数学

要研究一类新数，我们就从它的表示入手。

我们发现每引入一类新数，都相应地带来一种新的记号，如“-”（负号）、“—”（分式符号）和“n”（根式），这样表示既简洁又利于运算。因而我们也要引进一套符号系统来表示虚数。

问题2：请同学们来说一说你准备用什么符号来表示它？

瑞士数学家欧拉在1777年首次用字母i表示1的平方根，并称它为虚数单位。字母i是取自单词imaginary的第一个字母，表达虚幻、想象的意思，1801年，德国数学家高斯系统地使用了这个符号，使i通行于世。

对于虚数单位i，我们给出如下规定：

（1）虚数单位i的平方等于-1，即

i21；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。

由这两个规定，我们得到：i与圆周率相似，都代表一个数，；另外规定（2）保证了虚数加入后，能与实数“和平共处，互帮互助”。

问题3：请同学们根据规定构造一些新数。

讨论：同学们构造的这一些都是如何构成的，有什么共同的特点？

1．复数的概念

（1）形如abi(a,bR)的数叫做复数（complex number）.全体复数所组成的集合叫做复数集(set of complex number),记作C. （2）复数代数表示,即zabi(a,bR),其中a与b分别叫做复数z的实部(real part)与虚部(imanigary part). 练习：请说出刚才构造的复数的实部与虚部。

阅读：复数系是怎样建立的

1545年意大利有名的数学

“怪杰”

卡尔丹

第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”.几乎过了100年，笛卡尔（Descartes,1596-1650）才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数．但是又过了140年，欧拉(Euler,1707-1783)还是说这种数只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位.后来德国数学家高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来．1837年，爱尔兰数学家哈密顿(Hamilton,1805-1865)用有序实数对（a,b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律.这样历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成. 问题4：若复数 z = a + bi (a,b∈R)表示实数，则a，b应满足什么条件？

2．复数的分类

（1）当b0时，此时za表示实数。

（2）当b0时，此时zabi就称为虚数（imaginary number），

zbi就称为纯虚数(pure 特别地，当b0且a0时，imaginary number)。

练习：

复数

实部

虚部

实数

虚数

纯虚数

0

14i

232i

i2

isin

bi(bR,b0)

例1．已知复数zm(m1)(m1)i，则当z分别是（1）实数?（2）虚数?（3）纯虚数时，求实数m的取值范围。

试一试：用韦恩图表示复数集、虚数集、纯虚数集、实数集、有理数集的关系。

（小组讨论）

问题5：复数z1abi,z2cdi，若z1z2，则实数a,b,c,d应满足什么条件？

3．复数相等

ac

abicdi(a,b,c,dR)bd该定义还体现了数学的一种重要思想，即复数转化为实数问题。这种思想在复数问题的处理中较常用。

例2：已知(2x1)iy(3y)i，求实数x与y的值。

m的值. 练习：已知： (m23m1)(m25m6)i3，

求实数

三、课堂小结

设置三个问题，引导学生回顾小结：

（1）在这堂课中，你学到了什么？

（2）在这堂课中，你印象最深的是什么？

（3）你想进一步探究的是什么？

本节课学习的主要内容是：完成了数系的扩充，即NZQRC；并学习了复数的表示、复数的分类、复数相等的充要条件。复数集的扩充是中学阶段数的最后一次扩充，后面的课我们将要解决复数的四则运算、复数的几何意义，在解决问题的过程中要注意与实数结合，弄清楚它们的区别，也要抓住它们的联系。

四、布置作业

1.复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。请同学们上网搜索虚数在科学技术发展中的运用. 2.书P105 习题3.1 1，2，3.