3.2.2 复数代数形式的乘除运算教学评价实录

教案

课题

3.2.2复数代数形式的乘除运算

知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算

教学

目标

过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题

情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。

课型

新授课

重点

难点

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具

多媒体

准备

教学过程与教学内容

课时

1 安排

教学方法、教学手段与学法、学情

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教学过程：

复习： 1．复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 讲解新课：

１．乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，

类比，归纳

z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. ∴z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i

=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，

同理可证：

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z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，

∴(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R). ∵z1(z2+z3)=(a1+b1i)［(a2+b2i)+(a3+b3i)］=(a1+b1i)［(a2+a3)+(b2+b3)i］

=［a1(a2+a3)-b1(b2+b3)］+［b1(a2+a3)+a1(b2+b3)］i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i

=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i

=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i

∴z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)＝(11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2计算：

（1）(3+4i) (3-4i) ；

（2）（1+ i).

解：（1）(3+4i) (3-4i) =3-（4i）=9-(-16)=25; (2) （1+ i)=1+2 i+i=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数

通常记复数z的共轭复数为z。

4. 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者5.除法运算规则：

①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.

22222abi

cdi- 3 -

cxdya,由复数相等定义可知

dxcyb.

acbdx,22cd

解这个方程组，得ybcad.c2d2于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad i. c2d2c2d22②利用(c+di)(c－di)=c+d.于是将2abi的分母有理化得：

cdi原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的2它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c32的对偶式32，2－di)=c+d是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i

(12i)(34i)386i4i510i12i

(34i)(34i)32422555

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例4计算(14i)(1i)24i

34i：解(14i)(1i)24i34i143i24i7i(7i)(34i)

34i34i32422143i28i2525i1i.

2525

例5已知z是虚数，且z+1z1是实数，求证：是纯虚数. zz1证明：设z=a+bi(a、b∈R且b≠0)，于是

z+11abiaba(b)i. =a+bi+=a+bi+222222zababababi1b∈R，∴b－2=0. 2zab22∵z+∵b≠0，∴a+b=1. ∴z1(a1)bi[(a1)bi][(a1)bi]

22z1(a1)bi(a1)ba21b2[(a1)b(a1)b]i02bibi.

22ab2a112a1a1∵b≠0，a、b∈R，∴

巩固练习：

1.设z=3+i,则bi是纯虚数

a11等于

zB.3－i

C.A.3+i

31i

1010D.31i

1010

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2.abiabi的值是

baibai

B.i

C.－i

A.0

D.1 3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数A.1 4.设

iz2的虚部为

z15

∈D.－i

R,y∈R),则B.－1

C.i

x3y1i2i1i (xx=___________,y=___________.

答案：1.D 2.A 3.A

4.39 , － 55课后作业：课本第112页 习题3. 2 A组4，5，6

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