一 比较法名师课堂实录

第二讲 证明不等式的基本方法

一 比较法

教学目标：

1.知识与技能：理解用比较法证明不等式的原理和思路；会运用比较法证明一些简单的不等式.

2.过程与方法：引导学生自主完成自学任务，师生共同讨论任务疑点、难点。

3.情感态度与价值观：通过学生积极参与讨论活动，体会成功的喜悦，树立自信，培养敢于思考解决问题的精神。

教学重点：理解和掌握比较法证明不等式的依据。

教学难点：数学转化思想的理解与应用。

教学方法：自主探究、课堂互动讲练、精心设计课后作业

教学过程：

一、课前自主学案

比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法

(1)

要证明a>b，只要证明a-b>0；要证明a

(2)要证明a>b>0，只要证明叫做作商比较法．

思考感悟

作差比较法的主要类型是什么？作商比较法的主要类型是什么？

提示：作差比较法尤其适用于具有多项式或分式结构特征的不等式的证明．作商比较法尤其适用于不等式两端是正数的乘积形式或幂指数结构特征的不等式的证明．

二、课堂互动讲练 考点突破

考点一 作差比较法

例1.

3比较ab与4a(a－b)的大小．

aa1；要证明b>a>0，只要证明1，这种证明不等式的方法，bb44思路点拨：不等式的两边都是整式，可用作差法比较不等式的大小．

解

a4b44－4a3(a－b)＝(a－b)(a＋b)(a2＋b2)－4a3(a－b) 22332233＝(a－b)[(a＋b)(a＋b)－4a]＝(a－b)(a＋ab＋ba＋b－4a) 232333222＝(a－b)[(ab－a)＋(ba－a)＋(b－a)]＝(a－b)(a－b)[(－a)(a＋b)－a－(a＋b＋ab)]

＝－(a－b)(3a＋2ab＋b)＝－(a－b)[(a＋b)＋2a]≤0(当且仅当a＝b时取等号)．∴ab4aab

443222222点评

作差法比较大小的关键是变形环节，通常采用因式分解法和配方法，特别是对两个多项式的大小比较．

变式训练1 若a，b∈R，试比较ab与2(a－b－1)的大小．

解：ab2ab1a2a1b2b1a1b10，

22222222∴ab≥2(a－b－1)．

考点二 作商比较法

22例2.

设a>0，b>0，求证：ab≥((ab)abab2

思路点拨

不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商法．

∵ aabb >

0，(ab)abab2>0, abbaab2abba2b2()∴

aba(ab)2

a-ba当a=b时，显然有

（）21b

aab当a>b>0时，



1,



0

，

b2

aab0,当b>a>0时，

01,b2ab

0b2a.由指数函数的单调性,有

abab

a21即



b

综上可知，对任意实数a、b，

abab都有

2.

abab点评 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数不等式时，常采用作商比较法．

变式训练2设直角三角形的斜边长为c，两直角边长分别为a，b，试比较c与ab的大小．

解：∵c是直角三角形的斜边长，a，b是直角边长，

333

ab∴a＋b>c,0

a3b3abab3ccccca2b21c2

即3322

a＋b333<1，故a＋b

1．比较法证明不等式的关键是变形，对差式的变形主要借助因式分解、配方、通分、有理化等手段，对商式的变形主要借助幂的运算性质．

2．当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般用作差法．当被证不等式(或变形后)的两端都是正数且为乘积形式或幂指数形式时，一般用作商法．

四．课后作业：

课本23页第1、2、3、4题。

五．教学后记：