1.3 二项式定理（通用）多媒体教案及点评

1.3.1 二项式定理（第一课时）

城郊中学数学组 许晓纯

一、教学目标

1.知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单的应用.

2.过程与方法：通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般的发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物的过程. 3.情感态度与价值观：启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 二、教学重点、难点

1.重点：二项式定理及其归纳过程. 2.难点：在二项式展开的过程中，发现各项及各项系数的规律；能解决与二项展开式有关的简单问题. 三、课题类型

新授课

四、教学方法

讲授法为主，讨论法为辅.

五、课时安排

1课时

六、教学工具

多媒体

七、教学过程

1.课前引入

提问现实生活中的常见问题：今天是星期五，那么82012天后是星期几？

（提示：82012712.新知探究

⑴温故知新

2012，从而引出如何将式子展开，求被7除后的余数.）

ab

2 ab 3

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⑵组织学生讨论ab的展开式

3ab3ababab?

3提示：①在合并同类项之前，ab的展开式共有几项？

②ab展开后各项的形式分别是什么？

③各项前的系数代表着什么？

各项前的系数代表着这些项在展开式中出现的次数

④分析说明各项前的系数. 在ab的展开式中，每一项都可以写成a3kbk的形式，是由3-k个ab

中选a，另k个ab中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，a3kbk出现的次数相当于从3个ab中取k个b的组合数，因此，即共有C3k33个. ⑶小试牛刀

3ab030121212303C3abC3abC3abC3ab=a33a2b3ab2b3

0201202C2abC2abC2aba22abb2

0401312223404C4abC4abC4abC4ab3C4abaa44a3b6a2b24ab3b4

abab24⑷组织学生讨论abnnnN的展开式

* 由于ab是n个ab相乘，每个ab在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个ab中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项，因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，ab的展开式共有2n项，其中每一项都是

nankbkk0,1,2,,n的形式. 对应的项ankbk是由nk个ab中选a，k个ab

,n，对于某个kk0,1,2,中选b得到的. 由于b选定后，a的选法也随之确定，这样，ankbk出现的次数相当于k从n个ab中取k个b、nk个a的情况，其方法数为Cn，因此，

ab

n0n01n11CnabCnabknkkCnabn0nCnab.

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⑸二项式定理及其相关概念

0n01n11 ①公式abCnabCbnanknCankkb*n0nnNCab叫做二项式定n理. ②公式右边的多项式叫做ab的二项展开式. k ③展开式中的Cnk0,1,2,n,n叫做二项式系数. knkk④展开式中的Cn用Tk1表示，即通项为展开式的第k+1ab叫做二项展开式的通项，项. ⑹二项展开式的特点

①ab的二项展开式共有n+1项，各项的次数都等于二项式的次数. ②二项式系数可写成组合数的形式,组合数的下标为二项式的次数，组合数的上标由0递增到n. ③字母a按降幂排列,次数由n递减到0；字母b按升幂排列,次数由0递增到n. 3.应用示例

例1 求x1的展开式. 变式：求x1的展开式. 小结：⑴字母a，b是一种“符号”，它们可以是数也可以是式子，只要具备二项式的形式，就可以用定理写出展开式；

⑵通项公式是在ab这个标准下而言的，如ab展开时需把-b看成b代

入二项式定理. nn66n1例2 求x的展开式的第6项. x1变式：求x的展开式的第6项. xknkk小结：⑴通项Tk1Cnabk0,1,77,n是ab的展开式的第k+1项，而不是第k nn项；

knkk ⑵二项式ab的展开式的第k+1项Cnab和ba的展开式的第k+1项nknkk应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的. Cnba是有区别的， 例3 求12x的展开式的第4项的二项式系数.

变式：求12x的展开式的第4项的系数. 77

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k小结：⑴二项式展开式中第k+1项的二项式系数Cn与第k+1项的系数不一定相等，k二项式系数只指Cn，一定为正，而项的系数为各项中未知量前的常数（包括符号），有时可为负. knkk ⑵求特定项时一般通过二项展开式的通项Tk1Cnab来求. 4.学以致用

⑴今天是星期五，那么82012天后是星期几？

1⑵求x的展开式中的常数项. x5.高考链接

8a（2010·陕西）xxR展开式中x3的系数为10，则实数a等于（ ）

x A.1

B.6.课堂小结

⑴二项式定理及其相关概念

⑵二项式定理的应用

正用二项式定理可得展开式，进而处理特定项、整除（求余）、近似计算等问题，

逆用二项式定理可解决化简、求值和证明等问题. ⑶特殊到一般，再由一般到特殊的数学思想方法

7.作业布置

课本37页第4（2）（4）、5题

8.合作探究

⑴化简x15x110x110x15x1. 0123⑵写出1+x的展开式，并求出CnCnCnCnn543251

C.1

D.2

2n1n的值. CnCn1⑶求3x3的展开式中所有的有理项. 2x10⑷求12x3x25展开式中x5的系数. ⑸求证2n23n5n4能被25整除. ⑹求0.9986的近似值，使误差小于0.001. 八、板书设计

多媒体和黑板相结合使用，灵活安排.

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