2.2.2 反证法教学设计思路

§2.2.2

反证法

学习目标

1. 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；

2. 了解反证法的思考过程、特点;

学习过程

一、课前准备

（预习教材P52~ P54，找出疑惑之处）

复习1：直接证明的两种方法:

和

; 复习2：

是间接证明的一种基本方法.

二、新课导学

※

学习探究

探究任务：反证法

问题(1)：将9个球分别染成红色或白色,那么无论怎样染,至少有5个球是同色的,你能证明这个结论吗? 问题(2):三十六口缸,九条船来装,只准装单,不准装双,你说怎么装?

新知：一般地，假设原命题

，经过正确的推理，最后得出

，因此说明假设

，从而证明了原命题

.这种证明方法叫

.

试试：

证明：2,3,5不可能成等差数列.

反思：证明基本步骤：假设原命题的结论不成立

→

从假设出发，经推理论证得到矛盾

→

矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

※

典型例题

例1 已知a0,证明x的方程axb有且只有一个根.

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变式：证明在ABC中,若C是直角,那么B一定是锐角.

小结：应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

例2求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

变式：求证：一个三角形中，至少有一个内角不少于60.

小结：反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题. ※

动手试试

练1. 如果x

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1,那么x22x10. 2

练2. ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,求证:B90.

三、总结提升

※

学习小结

1. 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论. 2. 反证法适用于证明“存在性，唯一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题.

※

知识拓展

空城计与反证法

空城计相传三国时代,蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时派大将魏延领兵攻打魏国,只留下少数老弱军士守城,不料魏国大都督司马懿率大队兵马杀来,靠几个老弱士兵出城应战犹如鸡蛋碰石头,怎么办?诸葛亮冷静思考之后,传令大开城门,让老弱士兵在城门口洒扫道路,自己则登上城楼,摆好香案,端坐弹琴,态度从容,琴声优雅, 司马懿来到城前见此情况,心中疑惑,他想诸葛亮一生精明过人,谨慎有余,今天如此这般与其一生表现矛盾,恐怕城内必有伏兵,故意诱我入城,决不能中计,于是急令退兵. 诸葛亮正是利用司马懿这种心理上的矛盾,才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的，诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面方法（用少数老弱兵士去拼杀）很难或无法解决的问题，在历史上留下美谈，这就是家喻户晓的“空城计”.

学习评价

※

自我评价

你完成本节导学案的情况为（

）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60”时，反设正确的是（

）. A．假设三内角都不大于60

B．假设三内角都大于60

C．假设三内角至多有一个大于60

D．假设三内角至多有两个大于60

2. 实数a,b,c不全为0等价于为（

）. A．a,b,c均不为0 B．a,b,c中至多有一个为0 C．a,b,c中至少有一个为0 D．a,b,c中至少有一个不为0

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1113.设a,b,c都是正数，则三个数a,b,c（

）. bcaA．都大于2

B.至少有一个大于2 C.至少有一个不小于2

D.至少有一个不大于2 4. 用反证法证明命题“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的反设为

. 5. “x4”是“x24x0”的

条件.

课后作业

1. 已知x,y0,且xy2.试证:

2. 证明2不是有理数. 1x1y,中至少有一个小于2. yx

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