1.3 二项式定理（通用）PPT配套教学设计内容

二项式系数及项的系数问题

教学内容分析：

在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为他的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一个也为学习随机变量及其分布作准备。另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。

学情分析：

学生已经能够熟练掌握两个计数原理以及排列数公式和组合数公式，具有一定的知识基础

教学目标 １、知识与技能：

1）使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式；

2）会利用二项展开式及通项公式解决有关问题；

２、过程与方法：在同学对二项展开式的探究过程中，培养训练同学的观察、联想、归纳等探究能力；

３、情感、态度与价值观：通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育

教学重点与难点

重点：用计数原理分析(ab)的展开式，得到二项式定理；

难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律；

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学方法：

分析法，讨论法，归纳法

教学过程：

一.复习引入

一、复习引入：

前一阶段，我们学习了排列组合与概率，我们知道了对于多项式的展开式的项数问题可以运用乘法原理求解。如：

例1、（1）求(a1a2a3)(b1b2)(c1c2c3c4c5)展开后的项数。

（2）求(ab)(ab)展开后的项数。

（3）求(abc)(abc)展开后的项数。

疑问1：

（2）的项数为4，与我们已知的：(ab)a2abb项数为3不一致。为什么？

（3）的项数为3，与我们已知的：(abc)abc2ab2ac2bc项数为6不一致。为什么？

引导同学得出结论：由于同类项的合并因此项数减少了。

22222222

其实，多项式的展开问题比我们想象的要复杂的多，它涉及展开式的项数、项、项的系数等问题，但也并不是没有规律可循，我们可以运用有关知识来解决。想不想来试试？

引出课题：二项式定理

二、新课探究：

（一）二项式的展开式：

我们先来研究二项式(ab)n的展开式。

1、

二项式的定义：形如(ab)n的代数式叫二项式。

2、

二项式的展开式的探究：

注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项a和b指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。

(ab)ab

ab2a22abb2

ab3a33a2b3ab23b3

ab4a44a3b6a2b24ab3b4

探索规律，得出结论：

n（1）

二项式(ab)的展开式项数为：

n1

；

n（2）

二项式(ab)的展开式各项a和b指数的特点：

（a）展开式各项a和b指数和为n，

（b）a指数从n开始依次递减到0，b指数从0开始依次递减到n；

（3）二项式(ab)的展开式各项的系数满足：

n=1

1

1

n=2

1

2

1

n=3

1

3

3

1

n=4

1

4

6

4

1 n=5

1

5

10

10

5

1

、、、、、、

规律：左、右两边斜行各数都是1；奇遇各数都等于它肩上两数的和。

n

类似这样的表，早在7百多年前我国宋朝数学家杨辉在所著的《详解九章算术》已经出现。反映了我国古代数学的发展和我国灿烂的历史文化。我们通常把这个表称作“杨辉三角”。运用“杨辉三角”可以来求二项式的展开式。

（二）二项式的展开式系数

当n比较大时怎么表示展开式各项的系数？

引导同学从展开式各项产生的角度思考：

122abC2b

ab2a22abb2=C20a2C212233ab3a33a2b3ab23b3C30c3C3abC3ab2C3b

ab4abababab的展开式中的各项系数是怎样的？

思考：在ababababab的展开式中ab是怎样来的？有多少个ab？

433教师引导：ab即abbb，是从上面四个括号中各选一个而来，三个b自四个括号中给出，四个括号中选三个b，有C4种可能。由于选出三个b的括号的同时自然剩下一个括号选出a。因此，a与b33333是同时得到的。所以在计算ab的数目时，只需考虑b的数目就可以了，而不必考虑a的数目。所以ab的个数是C4，即ab的系数是C4。

44322学生实践：由学生按刚才的道理分别写出a，ab

，ab，b的系数。

33330413222344归纳结论：abC4aC4abC4abC4ab3C4b

4提问：谁能写出(ab)、(ab)的展开式？

归纳一般结论：

对于(ab)

0an的系数即为每个括号都不取b的情况数，有Cn种；

1an1b的系数即为恰有1个括号取b其余取a的情况数，有Cn种；

56n……，

ranrbr的系数即为恰有r个括号取b其余取a的情况数，有Cn种；

……，

nbn的系数即为有n个括号都取b的情况数，有Cn种。

∴对于任意正整数

n ,我们有：

0n1n(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，各项系r数Cn

(r=0,1,2,……,n)叫做二项式系数。

rnrrrnrr

②式中Cnab叫做二项展开式的通项，记作：Tr1Cnab

（三）、例题赏析：

例1、(1)写出(1+2x)5的展开式

(2)求(1+2x)5的展开式中的第4项

(3)写出(2x+1)5的展开式中的第4项

(4)写出(1+2x)5的展开式中的第4项的二项式

系数，以及第4项的系数

例2 ：(1)写出

的展开式中的x3项

(2)求

的常数项

例3、已知(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+….+a5x5, ①求a0

②求a1+a2+a3+a4

③求a3

（四）课堂练习：

12x1、展开式中的常数项为

（

）

x(A)第6项

(B)第7项

(C) 第8项

(D) 第9项

2、3x的展开式中，x的系数是

7512

(用数字作答)．

3、求(x339)的展开式常数项；

x4、(x339)的展开式的中间两项

x5、xxlgx展开式中的第3项为10，求x．

5616、求x展开式的中间项

x2n

三、课堂小结：师生共同回忆本节的学习内容．

1)、二项式定理；

2）、二项式系数；

3）、二项式展开式的通项

四、作业布置：校内作业册 五、板书设计:

二项式概念：

例1：

二项式系数：

例2：

例3：

二项式展开式的通项：

例4：

课堂练习：

课后反思：