阅读与思考 九连环名师教学实录

第六章数

列

第一节

数列的概念与简单表示

本节主要包括2个知识点：

1.数列的通项公式；2.数列的单调性.

突破点(一)

数列的通项公式

基础联通

抓主干知识的“源”与“流”

1．数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．

2．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．数列的递推公式

如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．

4．Sn与an的关系

已知数列{an}的前n项和为Sn，则

S1，n＝1，an＝这个关系式对任意数列均成立．

Sn－Sn－1，n≥2，

考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”

[方法技巧]

由递推关系式求通项公式的常用方法

(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an. an(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an. an－1(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．

(4)形如an＋1＝数列求解．

Aan(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新Ban＋C(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．

能力练通

抓应用体验的“得”与“失”

0，n为奇数，1＋－1n1.[考点一]已知n∈N，给出4个表达式：①an＝②an＝，③21，n为偶数，*

1＋cos nπnπsin .其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(

) an＝，④an＝22A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

解析：选A

检验知①②③都是所给数列的通项公式．

5792.[考点一]数列1，－，，－，…的一个通项公式是(

) 81524A．an＝(－1)nB．an＝(－1)n＋12n－1(n∈N*) 2n＋n－12n＋1(n∈N*) 3n＋3n2n－1(n∈N*) 2n＋2n2n＋1(n∈N*) 2n＋2n3579，－，，－，…，通过对比各1×32×43×54×6C．an＝(－1)nD．an＝(－1)n＋1－1解析：选D

所给数列各项可写成：选项，可知选D. 3.[考点二]已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(

) A．an＝2n－3

B．an＝2n＋3 1，n＝1，1，n＝1，C．an＝

D．an＝

2n－3，n≥22n＋3，n≥2

解析：选C

当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝11，n＝1，时a1的值不适合n≥2的解析式，故{an}的通项公式为an＝

2n－3，n≥2.

4.[考点三]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，求数列{an}的通项公式．

解：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．

n－12＋nn2＋n－2以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝. 22n2＋n又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．

2∵当n＝1时也满足此式，

n2＋n∴an＝(n∈N*)．

25.[考点三]若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．

解：由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n1＋2n－－21－2n＋…＋2＋1＝＝2n－1.又因为当n＝1时满足此式，所以an＝2n－1. 1－2