1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学教案设计

人教A版选修1-2 1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用---教学案

一、预习课本P10～15，思考并完成以下问题

1．分类变量与列联表分别是如何定义的？

2．独立性检验的基本思想是怎样的？

3．独立性检验的常用方法有哪些？

二、

[新知初探]

1．与列联表相关的概念

(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类型，像这样的变量称为分类变量．

(2)列联表：

①列出的两个分类变量的频数表，

称为列联表．

②一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

x1

x2

总计

在2×2列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足ad－bc≈0, 因此|ad－bc|越小，

关系越弱；

|ad－bc|越大，

关系越强．

2．等高条形图

等高条形图与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，

常用等高条形图展示列表数据的频率特征．

3．独立性检验的基本思想

(1)定义：利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

nad－bc2(2)公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．

a＋bc＋da＋cb＋d2y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．(

) (2)列联表频率分析法、等高条形图可初步分析两分类变量是否有关系，

而独立性检验中K2取值则可通过统计表从数据上说明两分类变量的相关性的大小．(

)

1

人教A版选修1-2 (3)独立性检验的方法就是反证法．(

) 2．与表格相比，能更直观地反映出相关数据总体状况的是(

) A．列联表

B．散点图

C．残差图

D．等高条形图

3．如果有99%的把握认为“X与Y有关系”，那么具体算出的数据满足(

) 附表：

P(K2≥k0)

k0

A．k＞6．635

B．k＞5．024

C．k＞7．879

D．k＞3．841 4．下面是一个2×2列联表：

x1

x2

总计

则表中a，b的值分别为________．

三、能力训练

等高条形图的应用

[典例]

为了解铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系，分别对病人组和对照组的尿液作尿棕色素定性检查，结果如下：

组别

铅中毒病人

对照组

总计

阳性数

29

9

38

阴性数

7

28

35

总计

36 37 73 y1

a 2

b y2

21

25

46

总计

73 27 100 0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 3．841

5．024

6．635

7．879

10．828 试画出列联表的等高条形图，分析铅中毒病人和对照组的尿棕色素阳性数有无差别，铅中毒病人与尿棕色素为阳性是否有关系？

2

人教A版选修1-2

a在等高条形图中，可以估计满足条件X＝x1的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例，也可以估计a＋bc满足条件X＝x2的个体中具有Y＝y1的个体所占的比例．两个比例的值相差越大，X与Y有关系成立c＋d的可能性就越大．

[活学活用] 某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

两个变量的独立性检验

[典例]

为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？

3

人教A版选修1-2

独立性检验的步骤

(1)确定分类变量，获取样本频数，得到列联表．

(2)根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界α，然后查表确定临界值k0．

nad－bc2(3)利用公式K＝计算随机变量K2的观测值k0．

a＋bc＋da＋cb＋d2(4)作出判断．

如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α，否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y的关系”，或者在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”．

[活学活用] 在对人们的休闲方式的一次调查中，

共调查了124人，

其中女性70人，

男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，

另外27人主要的休闲方式是运动；

男性中有21人主要的休闲方式是看电视，

另外33人主要的休闲方式是运动．

(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表；

并估计，

以运动为主的休闲方式的人的比例；

(2)能否在犯错误的概率不超过0．025的前提下，

认为性别与休闲方式有关系？

附表：

P(K2≥k0)

k0

n(ad－bc)2K＝．

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)20．50

0．40

0．25

0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 10．828 0．455

0．708

1．323

2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

4

人教A版选修1-2 独立性检验的综合应用

[典例]

某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．

(1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；

(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．

(1)独立性检验问题是常与统计、概率相结合，解题时一定要认真审题，找出各数据的联系．

(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．

5

人教A版选修1-2 [活学活用] 某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动，他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式，教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式，A，B，C三类课的节数比例为3∶2∶1．

(1)为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B，C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表(单位：节)

新课堂模式

传统课堂模式

总计

请根据统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．

(2)教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出12节课作为样本进行研究，并从样本中的B模式和C模式课堂中随机抽取2节课，求至少有一节课为C模式课堂的概率．

参考临界值有：

P(K2≥k0)

k0

nad－bc2参考公式：K＝，

a＋bc＋da＋cb＋d2高效

60

40

100

非高效

30

50

80

总计

90 90 180 0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828 其中n＝a＋b＋c＋d．

6

人教A版选修1-2 四、分层练习

层级一

学业水平达标

1．以下关于独立性检验的说法中，

错误的是(

) A．独立性检验依赖于小概率原理

B．独立性检验得到的结论一定准确

C．样本不同，独立性检验的结论可能有差异

D．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法

2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(

)

3．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大(

) A．adcaacac与

B．与 C．与

D．与

a＋bc＋da＋bc＋da＋bc＋da＋bb＋c4．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是(

) A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小

B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小

C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小

D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大

5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：

得病

不得病

总计

根据以上数据，可得出(

) A．种子是否经过处理跟是否生病有关

B．种子是否经过处理跟是否生病无关

C．种子是否经过处理决定是否生病

D．以上都是错误的

6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”) 7．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K2≈3．852＞3．841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________．

8．统计推断，当________时，在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A与B有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A与B是有关的．

9．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．

7 种子处理

32

61

93

种子未处理

101

213

314

总计

133 274 407

人教A版选修1-2 (1)根据以上数据列出2×2列联表；

(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？

10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

男生

女生

合计

3已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为．

5(1)请将上面的列联表补充完整；

(2)是否有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．

nad－bc2附参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d．

a＋bc＋da＋cb＋d2喜爱打篮球

a c＝10

不喜爱打篮球

b＝5

d

合计

50

P(K2≥k0)

k0

8 0．15

0．10

0．05

0．025

0．010

0．005

0．001 2．072

2．706

3．841

5．024

6．635

7．879

10．828

人教A版选修1-2 层级二

应试能力达标

1．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力(

) A．平均数与方差

C．独立性检验

B．回归直线方程

D．概率

2．对于独立性检验，下列说法正确的是(

) A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关

B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关

C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关

D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关

3．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验(

) A．H0：男性喜欢参加体育活动

B．H0：女性不喜欢参加体育活动

C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关

D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关

4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：

男

女

由此表得到的正确结论是(

) A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”

5．若两个分类变量X与Y的列联表为：

x1

x2

则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．

6．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

y1

10

40

y2

15 16 做不到“光盘”

45

30

能做到“光盘”

10 15

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人教A版选修1-2

心脏搭桥手术

血管清障手术

合计

又发作过心脏病

39

29

68

未发作过心脏病

157

167

324

合计

196 196 392 试根据上述数据计算K2≈________，能否作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论________(填“能”或“不能”)．

7．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：

零件尺寸x 零件个数y 甲

乙

1．01

1．02

1．03

3

7

7

4

8

4

1．04

9

4

1．05 3 a

^由表中数据得y关于x的线性回归方程为y＝－91＋100x(1．01≤x≤1．05)，其中合格零件尺寸为1．03±0．01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？

甲

乙

总计

8．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

南方学生

北方学生

总计

喜欢甜品

60

10

70

不喜欢甜品

20

10

30

总计

80 20 100 合格零件数

不合格零件数

总计

(1)根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．

P(K2≥k0)

k0

0．100

0．050

2．706

3．841

10 0．010 6．635

人教A版选修1-2

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