信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学实录及点评

课型：

新授课

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教学目标：

知识与技能：掌握正态分布在实际生活中的意义和作用

。

过程与方法：结合正态曲线，加深对正态密度函数的理理。

情感、态度与价值观：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质

。

教学重点：正态分布曲线的性质、标准正态曲线N(0，1) 。

教学难点：通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

教学用具：多媒体、实物投影仪

教学方法：在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

批注

教学过程：

复习引入：

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．

频率/组距总体密度曲线单位

它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．

观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：

1,(x)e2(x)222Oab,x(,)

式中的实数、(0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．

讲解新课：

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(aXB),(x)dx, ab则称

X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(,2)．如果随机变量

X 服从正态分布，则记为X～N(,2).

说明:1参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．

2.早在

1733 年，法国数学家棣莫弗就用n！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．

2．正态分布N(,2)）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布

通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称

正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上

讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质

4．正态曲线的性质：

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

（2）曲线关于直线x=μ对称

（3）当x=μ时，曲线位于最高点

（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：

五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学

5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12ex22，（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线

标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位

任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题

讲解范例：

例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

（１）f(x)121ex22,x(,)

（２）f(x)22e(x1)28,x(,)

（３）f(x)22(x1)2e,x(,)

2答案：(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5

例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．

解：利用等式p(x2)(x1)有

p(2)(1)(2)11

=(2)(1)1=0.9772＋0.8413－1=0.8151．

例3. 若x～N(0,1),求(l)P(-2.322). 解：(1)P(-2.32

=(1.2)-[1-(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-(2)=l-0.9772=0.0228.

例4．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：

(1)在N(1,4)下，求F(3)

（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；

Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；

Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）

31)＝Φ（1）＝0.8413 解：（１）F(3)＝(2)＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝()＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－Ｆ（μ－σ）＝(0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 Ｆ（μ－1.84σ，μ＋1.84σ）＝Ｆ（μ＋1.84σ）－Ｆ（μ－1.84σ）＝0.9342 Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σ）＝0.954 Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ）＝0.997 对于正态总体N(,2)取值的概率：

68.3%x95.4%x99.7%x2σ4σ6σ

在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%

因此我们时常

只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分

例5．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为解12，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率

：正态22分布的概率密度函数是f(x)12e(x)2,x(,)，它是偶函数，说明μ＝0，f(x)的12最大值为f()＝布

，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分P(1.2x0.2)(0.2)(1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1

巩固练习：

1,2,3

习题2. 4 A组

1 , 2

B组1 , 2

教学后记：

正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质。