小结教学设计案例

选修1-2第三章

《数系的扩充与复数的引入》 教

学

设

计

巍山二中 杨粉绒

教学目的: 1.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件

2.会进行复数代数形式的四则运算

3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义

考情分析: 1.复数代数形式的乘除运算和复数相等的充要条件是考查重点。

2.复数的基本概念如：实部、虚部、共轭复数、模的几何意义、 i的周期性是易错点。

3.题型以选择题为主。

教学过程: 一、知识回顾

1.复数的概念

（1）复数：形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数

单位， a和b分别叫做它的 和 . （2）复数的分类：复数 z=a+bi(a,b∈R)

中，当 时，z是实数；当 时，z是虚数；当 时，z是纯虚数。

（3）复数相等：a+bi=c+di 特别地，a+bi=0

（4）共轭复数：a+bi与c+di共轭 2、复数的几何意义：

(1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，

横轴叫作实轴，竖轴叫作虚轴。实轴上的点都表示 ，

除原点外，虚轴上的点都表示 。

（2）复数与点：

复数z=a+bi(a,b∈R)

与复平面内的点Z(a,b) 一一对应

（3）复数与向量： 复数z=a+bi(a,b∈R)与平面向量oz=(a,b) 一一对应

(4)复数的模：向量oz的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)

的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=a2b2

3、复数的运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则

z1+z2=(a+bi）+（c+di）=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a+bi）-（c+di）=(a-c)+(b-d)i z1.z2=(a+bi)（c+di）=(ac-bd)+(ad+bc)i z1zabi(abi)(cdi)(cdi)(cdi)(acbd)(bcad)ic2d2(c+di0) 2cdi基础自测

1.设i为虚数单位，复数i3+2i/(1+i)=( ) A.-i B.i C.-1 D.1 【命题立意】.本题考查复数的运算法则，难度较小。

【解题思路】.利用复数的运算法则求解.

i3+2i/(1+i)=-i+i(1-i)=1,故选D. 2.已知a,b为实数，i是虚数单位，若a-i与2+bi互为共轭复数，则(a+bi)2=( ) A.5-4i B.2i C.3-4i D.3+4i 【命题立意】.本题考查共轭复数及复数的运算，难度较小. 【解题思路】由共轭复数得a=2,b=1,故（a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i,故选D 3.已知i是虚数单位，复数z满足1+i=z(-1+i)，则复数

Z等于（ ）

A i B -i C -1 D 1 【答案】B 分析：本题考查复数的运算

解析：

1iz(1i)1i(1i)(1i)2izi

1i(1i)(1i)21,1，

则AB 4.若集合Ai,i2,i3,i4（

i是虚数单位），

B等

于 ( ) A．1 B．1, C．1,1 D． 5.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R

,i则 a,b的值分别等于（ ）

A．3，-2 B．3, 2 C．3， -3 D．-1， 4 二.知识应用

应用1 复数的有关概念

是虚数单位)

例1.

设i是虚数单位，复数1ai为纯虚数，则实数a为（ ）

2iA.2 B.-2 C.-112 D. 2

思路点拨：

将

1ai2i化为复数的代数

形式，用纯虚数定义求a

的值

解析：1ai(1ai)(2i)2a2i(2i)(2i)(2a1)i5

因为1ai2i为纯虚数，且a为实数

所以2a02a10，所以a=2 【答案】 A 【反思】处理有关复数的基本概念问题，关键是找准

复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数

问题来处理。

●变式训练

设复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi,则 z-z为（ A.

实数 B. 纯虚数 C. 0 D.零或纯虚数 解析：因为z-z= （a+bi）-( a-bi)=2bi 所以当b=0时z-z为0 当b0时z-z为纯虚数

【答案】 D

应用2 复数的几何意义

例2．复数zi1i在复平面上对应的点位于（ ）

）

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

思路点拨：

复数z=a+bi(a,b∈R)

与复平面内的点Z(a,b) 一一对应，化简z为代数形式，确定其实部、虚部。

解析：因为zii(1i)11i

1i(1i)(1i)22 所以z对应的点位于第一象限

【反思】复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复

平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加、

减法的几何意义可按平面向量加、减法理解，利用平行四边

形法则或三角形法则解决问题。

变式训练：

平行四边形OABC,顶点O,A,C对应的复数分别为0，3+2i,-2+4i,则AO表示的复数为 ,BC表示的复数为 。

解析：因为AO=OA，所以AO表示的复数为-(3+2i)=-3-2i, 因为平行四边形OABC,

所以BC=AO

所以BC表示的复数为-3-2i 应用3 复数的代数运算

2例3.已知复数 z=1+i ，则z=

z解析：因为z=1+i，

22(1i)(1i)(1i)2i

所以zz1i【反思】复数的加法、减法运算可以类比多项式运算，

除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式

变式训练：

22z已知复数 z=1+i ，则= z三.课时小结

1、复数代数运算的实质是转化为实数运算，在转化时常用

的知识有复数相等，复数的加、减、乘、除运算法则，模的性质，共轭复数的性质等。

2、解决复数问题两个基本途径：①利用复数相等转化为实数问题，②利用复数的几何表示(点、向量)数形结合去解决．

四.课后作业

整理出来的近几年关于复数内容的高考真题. 选修1-2第三章《数系的扩充与复数的引入》专项练习

1．复数i2i

A．12i

B．12i

C．12i

D．12i

2.复数i1i的实部为 ．

3.若复数zi32i

( i是虚数单位

)，则z

A．32i

B．32i

C．23i

D．23i

4.已知是虚数单位，则复数A．（

）

D．

B．

C．5. 设i是虚数单位，则复数1i12i(

)

（A）3+3i

（B）-1+3i

（3）3+i

（D）-1+i 2346. 若集合Ai,i,i,i

（i

是虚数单位），B1,1

，则AB

等于

(

) A．1

B．1

C．1,1

D．

7．若(1i)(23i)abi（a,bR,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（

）

A．3,2

B．3,2

C．3,3

D．1,4

8.设复数z满足1+z=i，则|z|= 1z（A）1

（B）2

（C）3

（D）2

9.若a为实数且（2+ai）（a-2i）=-4i,则a=（

）

（A）-1

（B）0

（C）1

（D）2

10.设复数z(x1)yi(x,yR)，若|z|1，则yx的概率为（

）

A．31111111

B．

C．

D．

42422211.设复数z(x1)yi(x,yR)，若|z|1，则yx的概率（

）

A．31111111

B．



C．

D．



42242212. i

是虚数单位，若复数12iai

是纯虚数，则实数a的值为

.

13. i是虚数单位,计算12i

的结果为

．

2i1i14.已知z2，则复数z=（ ）

1i（i为虚数单位）A.1i B.1i C.1i D.1i

15.若复数z满足zi，其中i是虚数单位，则z

1i(A)1i

(B) 1i

(C) 1i

(D) 1i

216.设复数z满足z34i（i是虚数单位），则z的模为_______.

17.（11年新课标全国卷）2.复数5i

12i（A）2i （B）12i （C）2i （D）12i

－3+i18.（12年新课标文数）2.复数z＝2+i的共轭复数是

（A）2+i

（B）2－i

（C）－1+i

（D）－1－i 19.（12年新课标理数）3.下面是关于复数z2的四个命题：其中的真命题为（

）

1i

p1:z2

p2:z22i

p3:z的共轭复数为1i

p4:z的虚部为1

20.(13年全国II文数)2、(A)p2,p3

(B)

p1,p2

(C)p,p

(D)p,p

2（

）

1i

（A）22

（B）2

（C）2

（D）1

21.（13年全国II理数）2.设复数z满足（1-i）z=2 i，则z=

（A）-1+i

（B）-1-i

（C）1+i

（

）

（D）1-i 13i

1i （A）12i （B）12i （C）1-2i (D)

1-2i

22.(14年全国II文数)2. 23.（14年全国II理数）2.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2（

）

A.

- 5

B.

5

C.

- 4+ i

D. - 4 - i

24.(15年全国II文数) 2.

若为a实数,且A．4

B．3

C．3

D．4

2ai3i,则a(

) 1i（a-2i）=-4i,则a=（

）

25.（15年全国II理数）2.若a为实数且（2+ai）

（A）-1

（B）0

（C）1

（D）2

26.(16年全国III文数）

2.若z43i，则z=|z|

（A）1

（B）1 43+i55

（C）43i55

（D）27.(16年全国III理数）2.若z=1+2i，则4i

zz1

(A)1

(B)

-1

(C) i

(D)-i

28.(17年全国III文数) 2.复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

29.(17年全国III理数)2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣= A．12B．

C．2

D．2 22