1.3 二项式定理（通用）优秀教学设计

课题：§1.3.1二项式定理

（人教A版高中课标教材数学选修2-3）

教学设计

（第一课时）

晋州市第一中学

张书霞

《二项式定理》

教学设计

一、教学内容解析

《二项式定理》，

在初中多项式乘法的基础上，运用计数原理得到的。在计数原理之后学习二项式定理，可以把它作为计数原理的一个应用，同时也是为后面学习随机变量及其分布做准备，二项式定理起着承上启下的作用．另外，二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识。总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识。本节内容蕴含着丰富的数学文化背景，是学生们了解中国的数学文化，提升数学素养的很好的载体。本节内容分为两个课时，我讲课的内容是第一课时。

二、教学目标

1.知识与技能目标：

掌握二项式定理、二项展开式通项的特点，并能较熟练运用二项式定理计算一些简单的问题。

2.过程与方法目标：

经历定理的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的思维探究能力。

3．情感、态度与价值观目标：

把数学文化融入课堂，让学生了解二项式定理的发展史。使学生获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度。

三、教学重点难点

教学的重点是二项式定理。难点集中在(ab)n展开式的获得的思路上。

采用计数原理与组合数相结合，创设情境的办法来突出重点，突破难点。

四、学情分析

１．有利因素

学生刚刚学习了计数原理和排列组合知识，对本节(ab)n展开式中各项系数的研究会有很大帮助。

２．不利因素

本节内容思维量较大，学生基础较为薄弱，学习起来有一定难度。在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。

五、教法学法分析

根据学情特点，在教法上采用“问题启发式教学法”，小步骤，低起点，以问题驱动、层层铺垫，突出重点，突破难点。学生主要采用“探究合作式学习法”，

并利用多媒体辅助教学。

教学过程

创设情境，问题呈现

探索与发现阶段

应用知识阶段

小结与作业

（一）创设情境 问题呈现

兴趣是最好的老师，17世纪的著名物理学家牛顿对一个苹果落地产生了浓厚的兴趣，从而产生了万有引力定律；同时他也是一个著名的数学家，他对

(ab)2？

(ab)3？

(ab)4？的展开式也产生了浓厚的兴趣，那么(ab)10?……(ab)n的展开式是什么？从而产生了二项式定理，又称牛顿二项式定理，我们现在探究一下这个课题。

【设计意图】把数学文化融入课堂，让学生了解二项式定理的发展史，激发学生的学习兴趣。

复习旧知，做好铺垫。

（1）、试用多项式乘法法则、计数原理来说明下列因式的展开式是什么，展开后有多少项？是几次式？各项是如何形成的？

1、

(ab)(cd)acadbcbd

有

2



2



4

项，二次式。

2



21

2、

(ab)(cd)eaceadebcebde有



4

项，三次式。

2

3、(ab)(cd)(ef)e(ab)(cd)f(ab)(cd)2

8

项，三次式。

有

2



2



aceadebcebdeacfadfbcfbdf【设计意图】改编计数原理课后练习题，小步骤、低起点，复习多项式乘法法则：展开式的每一项都是从这每个因式中各取一个字母相乘得到，为后面的研究做好铺垫。

（2）、

写出(ab)2，

(ab)3，

(ab)4展开式，展开后有多少项？是几次式？对比合并同类项前后，有哪些变化？

【设计意图】把c,d,e,f换成a,b学生比较顺利的写出(ab)2，

(ab)3;

(ab)4展开式的获得计算繁琐，学生可能感觉比较困难，这样为下面问题的提出做好准备。

（二）

探究发现阶段

问题1：观察下列展开式，归纳猜想(ab)n的展开式有怎样的规律？

(ab)2a22abb2(ab)3a33a2b3ab2b3432234(ab)4a4ab6ab4abb

【设计意图】通过前后比较得出认识：

单纯用多项式乘法法则计算繁琐，进而提出有无简单的方法？通过挖掘数学本质，激发学生探索的学习兴趣；才能让学生认真观察，顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．本节中，由特殊到一般的数学思维方法，需要对特殊情形进行观察归纳．要想提高归纳的准确性，就需要较多的实例进行观察．特别是“组合知识的运用”，当n较小时，学生意识不到用组合的知识解释项的系数．只有当n较大时，各项系数的确定才能突显出组合知识的优势．因此，在题目设置时，准备了(ab)2，(ab)3，(ab)4三个展开式让学生观察归纳，否则关于“组合知识的运用”就成了教师的告知。

问题2：展开式中各项是如何得到的？

探究

(ab)4展开式，学生叙述展开过程中各项是如何形成的，展开式的每一项都是从这每个因式中各取一个字母相乘得到．各项分别是关于 a,b的四次式。那么(ab)n的展开式？学生对每一项的获得是熟悉的，知道从每一个因式中各取一个字母得到，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段

。为了促进学生对这种算法的进一步理解，我设计了下面问题：教师利用多媒体展示，创设情境把n个因式看作

n个盒子，每个盒子有相同的a，b两个小球，从n个盒中每个盒子里各拿一个小球，如何拿才能不重不漏？让学生联想运用计数原理的知识来理解每一项的结构是如何形成的的。以n=4为例思考，学生逐渐想到取小球或字母时，按a的降幂排列，或按b的升幂排列。其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式。 【设计意图】

创设情境引导学生将(ab)n的展开式与两个计数原理联系起来。为展开式的系数的获得做好铺垫。图形直观能启迪思路，帮助理解，因此，借助图形直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓励学生借助图形直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。

3

问题3：展开式各项的系数是如何确定的？

根据多项式乘法法则，各项的形成过程就是有关计数原理的问题．而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数。教师依然利用多媒体展示从多项式乘法，和创设情境把n个因式看作

n个盒子，每个盒子有相同的a,b两个小球，从n个盒中每个盒子里各拿一个小球的办法，明暗两条线让学生来观察各项系数是如何形成的。由于前面的铺垫，学生容易想到用计数原理对(ab)4

展开式进行的分析，学生独立完成，并由学生自己讲解过程。那么(ab)n的展开式？

【设计意图】得到二项式定理的猜想完全依赖对

(ab)4的展开式分析，因此要舍得在这个问题上多花些时间让学生多开展思维活动。教师引导学生，用计数原理对展开式的分析，关键是考察“一件事”是什么和如何完成这件事，这里，要完成的“一件事”就是得到展开式的项

a个（a+b）中选b,第二步从剩下的n-k个(a+b)选a ,因此ak合数Cn 。

nknkbk的系数，可以分两步完成：第一步，从 kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组问题4：请写出(ab)n的展开式。

0n1n1knkknn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)——

二项式定理

证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类项），其中每一项都是ankbk(k0,1,n)的形式，对于每一项ankbk，它是由k个(ab)选了b，n－k个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)k中取k个b的组合数Cn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

二项式定理的公式特征：

①展开式中每一项的次数都是n； ②展开式共n1项；

③按照字母a降幂排列，次数由n递减到0，字母b升幂排列，次数由0递增到n；

knkkknkk④Cnab是展开式的第k1项；

Cnab叫二项展开式的通项，用Tk1表示。

k⑤各项的系数Cn(k0,1,n)叫二项式系数。

【设计意图】先由学生独立完成，然后组织讨论．完成有特殊到一般的归纳过程，训练学生的类比、联想、归纳的探究能力．在讨论过程中要明确每一项的形式及相应的个数。

（三）定理应用阶段

试一试：(1x)n

例1：请写出(2x)5的展开式。 变：求(2x)5

的展开式。

4

例2：求(12x)7的展开式中第4项。

变1

求(12x)7的展开式的第4项的二项式系数。 变2

求 (12x)7的展开式中x3项的系数。

【设计意图】

通过例题让学生熟悉二项展开式及其通项，培养学生的运算能力。

为了让学生较熟练掌握公式，采用设计变式题的教学手段，来促进学生新的认知结构的形成。

（四）小结与作业

请几位同学谈谈本节课学到了什么知识与方法？教师归纳补充。

知识方面：二项式定理，通项，二项式系数 思想方法：从特殊到一般；观察——归纳——类比——猜想——证明。

【设计意图】小结可以锻炼学生的概括能力、语言表达能力，可以使学生加深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法

。

1、巩固作业P31:

1~4 ；

2、

思维延伸：探究(2a3bc)6的展开式中ab2c3的系数

【设计意图】必做题是让学生巩固所学的知识，熟练公式的应用。

为了促进数学成绩优秀学生的发展，培养他们分析问题解决问题的能力，我设计了选做题，达到分层教学的目的。

板书设计

教后反思：

这个教学设计是在我讲完这节课后根据授课情况改编的，万事开头难，我所授课的班级学生基础比较薄弱，开始课前复习我是跟课本教材一样，探究如何利用两个计数原理得到(ab)，

(ab)展开式，重点探究(ab)

展开式，猜想(ab)的展开式。结果学生(ab)的展开式直接写出完全平方式，(ab)的展开式卡壳，写不出来，我想到前面学习计数原理的课后题(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4c5)展开后共有多少项？我的教法的启发，改编了这个题，结果课堂效果很好，即复习了计数原理、多项式乘法法则，又通过前后比较得出认识：单纯用多项式乘法法则计算繁琐，进而提出有无简单的方法？为后面运用计数原理猜想二项式定理，及二项式定理的证明做好铺垫。通过挖掘数学本质，激发学生探索的学习兴趣.，让学生认真观察，达到了预期目标，让我再次反思，认真备学生、因材施教这句话的重要性。

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