复习参考题教学设计和教学实录

基本不等式（期末复习课）教案

一、教学内容

本节是高中人教A版必修五第三章中基本不等式的复习课。本节课意在通过知识点的的回顾，并配合例题的讲解，使学生学会灵活使用基本不等式解决两类常见问题：一是求函数最值，并从中体会利用不等式求最值与函数求最值的区别；二是求解不等式的恒成立和存在性问题。通过本节内容的学习，培养学生的数学应用意识，而且在教学过程中渗透化归和数形结合的思想方法，提高学生的数学思维能力。

二、学情分析

我上课的班级是高一文科班，大部分学生的基础较差，学生的思维能力和运算能力参差不齐。通过平时的练习，发现基本不等式的考题无论是理科班还是文科班的学生普遍做得比较差，因此我在期末对这一问题给学生做了专题讲解。我组了一份导学案，有知识点和例题，提前一天发给学生，很多学生反映没有思路，因此我本节课重在帮助学生归纳利用基本不等式解决问题的方法技巧。

三、教学目标

知识与技能：在理解的基础上熟记基本不等式和其变形式，并能灵活应用公式求解最值问题；区分不等式的恒成立和存在性问题，并掌握将不等式的恒成立和存在性问题转化为最值问题的技巧。

过程与方法：在例题探究的过程中，和学生共同探究、总结利用基本不等式求最值的方法，提高学生的抽象概括能力；通过恒成立和存在性问题的求解，帮助学生树立化归的数学思想。

情感态度与价值观：通过本节内容的学习，增强学生科学严谨的治学态度，让学生体会利用基本不等式求解数学问题的神奇，提高学好数学的自信心。

四、教学重难点

重点：基本不等式求解最值问题的常用方法和解题技巧；

难点：利用基本不等式失效的情况下，结合对勾函数的图像求解最值问题；不等式的恒成立和存在性问题转化为最值问题。

五、教学过程

（一）、基础知识要打牢：

1、基本不等式abab

2（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0. （2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

ab （3）a+b≥2ab；ab≤，当且仅当a=b时取等号. 2（4）若a,bR, 则a2b22ab

，当且仅当a=b时取等号.

2、利用基本不等式求最值

如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值2P;S2如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值. 42

【注】：利用基本不等式求解最值问题的17字方针：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”。

3、不等式的恒成立,存在性问题（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1). 恒成立问题

若不等式fxA在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxminA

若不等式fxB在区间D上恒成立,则等价于在区间D上fxmaxB

2).存在性问题

若在区间D上存在实数x使不等式fxA成立,则等价于在区间D上fxmaxA；

若在区间D上存在实数x使不等式fxB成立,则等价于在区间D上的fxminB. 【设计意图】在探究题目之前，先带领学生复习相关理论知识，使解题更有依据。

（二）、高频考点要通关：

题型一：求最值

例1.（1）若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 . 解析：因为3a0且3b0，所以3a3b23a3b23ab2326，当且仅当3a3b即ab1时等号成立.

（2）当0x4时，求yx(82x)的最大值。

解析：由0x4知，82x0，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8. （3）已知x5，求函数y4x21的最值。

44x51不是常数，所以4x5解析：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)对4x2要进行拆、凑项，

511x,54x0，y4x254x3

231

44x554x1当且仅当54x，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1. 54x19（4）已知x0,y0，且1，求xy的最小值。

xy19199错解：

x0,y0，且1，

xyxy22xy12 xyxyxy故xymin12

。

错因：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在19199等号成立条件是即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因2xyxyxy此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

正解：19y9x19x0,y0,1，xyxy1061016

xyxyxy当且仅当y9x19时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，xymin16.

xyxy例2.

(耐克函数单调性）求函数yx25x42的值域. 1t(t2)

tx241解析：令x4t(t2)，则y2x25x24

x2411因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt1因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故t55y.所以，所求函数的值域为,. 22

【注】 1、若直接满足基本不等式的条件，则直接应用基本不等式。

2、若不直接满足基本不等式的条件。则需要创造条件对式子进行恒等变，

形，常用的变形技巧有：凑符号（负的变为正的），如（3）；凑和为定值，如

（2）；凑积为定值，如（3）；乘“1”法，如（4）. 3、在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，如例2，应结

a合函数f(x)x的单调性。

x4、通过（2）体会函数求最值与不等式求最值的不同之处。

例 3.

已知x0,y0，且2x8yxy0, 求

(1) xy的最小值； (64) (2) xy的最小值. (18) 例4.

已知不等式x20的解集为x|axb，点A(a,b)在直线x1mxny10

上，其中mn0，则21的最小值为（ C ）

mnA. 42 B. 8 C. 9 D. 12 【设计意图】

例3涉及到不等式的一种常用变形技巧，在这里让学生认识并会使用这种变形技巧；例4是考题中经常出现的一中模式，比较综合，也是学生感到比较困难的，通过此题讲解，使学生突破此类问题的难点。

题型二：恒成立和存在性问题

19例5.

已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值xy范围是,16. 例6.

已知关于x的不等式2x最小值为（ A ）

A．

B．1 C．2 D．

27在xa,上恒成立，则实数a的xa14y例7.

若两个正实数x,y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m4xy的范围是（ B ）

A. 1,4 B. ,14, C. 4,1 D. ,03,

例8. 若关于x的不等式2x28x4a0在1x4内有解，则实数a的取值范围是（ A ）

A．a4 B．a4 C．a12 D．a12

1例9.

若关于x的不等式x22xax对任意x0,2恒成立，则实数a的取值2范围是,1. 【注】不等式的恒成立和存在性问题是学生的难点所在，通过例题的讲解，使学生学会此问题的转化方法：将参数分离出来，然后利用前面的理论知识转化为最值问题。此时，求最值一是可以利用基本不等式，如例5、例6和例7；二是可借助不等式的结构特征，如一次函数、二次函数等来求最值，如例8和例9。

（三）、思想方法要归纳：

基本不等式

凑符号

凑和为定值

求最值

凑积为定值

思想方法

乘“1”法

分离参量，划归为最值问题

恒成立和存在性问题

利用基本不等式或不等式的结构特征求最值

数形结合：结合函数图像分析函数性质

化归：将不等式的恒成立和存在性问题转化为最值问题

六、教学反思

本节以基本不等式的应用为主线，和学生一起探究相关题型的解法，总结归纳解题技巧。通过本节课教学，学生对基本不等式的应用更加熟练，学生课后反映比较好，达到了预期目标。我觉得本节课在教学时应特别提醒学生注意以下几点：

1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

ab2．对于公式ab2ab，ab，要弄清它们的作用和使用条件及内在联2系，两个公式也体现了ab和ab的转化关系．

3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

七、当堂检测

当堂检测

1. 若x2y1，则2x4y的最小值是______. 112. 正数x,y满足x2y1，则的最小值为______. xy23. 若正数x,y满足x3y5xy，3x4y的最小值是__________. 4. 已知a,b为正实数，2baba30，函数yx27x10(x1)的值域. 5. 求yx1a2b26．【宁夏银川一中高二期末】已知0

A. ab B. ab C. ab D. ab

7. 函数fxxx0的最大值为________. x22013x4228. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为

yx218x25xN*，则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元。

9. 已知f(x)x12x0, 则f(x)有（ ）

xA．最大值为0 B．最小值为0 C．最大值为-4 D．最小值为-4 1410.已知x0,y0,1，不等式m28mxy0恒成立，则m的取值范围——xy是________．

11. 已知x,y是正实数，且2x5y20. (1)求ulgxlgy的最大值；

11(2)求的最小值. xy