小结教学设计模板

3.4基本不等式abab（1）

2【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，认识数学的应用价值，提高学习数学的兴趣

【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式ab明；

【教学难点】应用基本不等式ab【教学过程】

一.课题导入

基本不等式abab的证2ab求最值

2ab的几何背景：

2如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

二.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为a2b2。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为ab。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab2ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有2222a2b22ab。

2．得到结论：一般的，如果a,bR,那么ab2ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式ab特别的，如果a>0,b>0,我们用a、b分别代替通常我们把上式写作：ab22ab

2a2,b2，可得ab2ab，

ab(a>0,b>0)

2

2）从不等式的性质推导基本不等式ab用分析法证明：

ab

2abab (1) 2只要证 a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证 要证（3），只要证 （ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式ab2ab的几何意义

2探究：课本第98页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式abab的几何解释吗？ 2易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD＝ＣA·ＣB即ＣD＝ab. 这个圆的半径为2

ababab，其中当且仅当点C，显然，它大于或等于CD，即22与圆心重合，即a＝b时，等号成立. ab几何意义是“半径不小于半弦”

2ab评述：

在数学中，我们称为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.2因此：基本不等式ab本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.它在求最值时可以大显身手。但要注意应用的条件（一正二定三相等）及技巧（自己总结）。

三.例题讲解

例1（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 解：（1）设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2（x+y） m。由2xyxy，

2可得 xy2100， 2(xy)40。等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.

因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. （2）解法一：设矩形菜园的宽为x

m，则长为（36－2x）m，其中0＜x＜18，其面112x362x2182)162

积S＝x（36－2x）＝·2x（36－2x）≤(2222当且仅当2x＝36－2x，即x＝9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2

解法二：设矩形菜园的宽为x m.,长为y m ,则2x+y=36, 矩形菜园的面积为xy m。由

2112xy136xy2xy162，

22222当且仅当2x=y,即x=9，y=18时，等号成立。

归纳：1.两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M＋22M2为定值，则ab≤，等号当且仅当a＝b时成立. 42.两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥2P，等号当且仅当a＝b时成立.

例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

＋160016002400007202xl240000720(x)

xx240000720240297600当x1600,即x40时,l有最小值2976000.

x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元

四.引申练习

1.已知x≠0，当x取什么值时，x2．设a>2，则a281的值最小?最小值是多少? x21的最小值是________．

a2解：

∵a>2，∴a－2>0.

11∴a＋＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4. a－2a－21当且仅当a－2＝，即a＝3时，等号成立．

a－23．已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求25的最小值．

xy9的最小值; x9 (2)若x<0,求f(x)4x的最大值. x4．(1) 若x>0,求f(x)4x解：1) 因为 x>0 由基本不等式得，

f(x)4x9399924x23612,当且仅当4x即x=时, f(x)4x取x2xxx最小值12. (2)因为 x<0, 所以 -x>0, 由基本不等式得: 999f(x)(4x)(4x)()2(4x)()23612, xxx所以 ，

f(x)12

当且仅当4x

5．

求f(x)4x399即x=-时, f(x)4x取得最大-12. 2xx9(x>5)的最小值. x56．若x>0,y>0,且7．

若

281,求xy的最小值. xy111a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≥9. abc8．已知x0,y0,y9xxy,求xy的最小值。

五.课时小结

本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

六.作业

1.求f(x)sinx

2(x(0,))的最小值.sinx

2.求f(x)x24

1x42的最小值.

3.求f(x)

x4x12(x0)的最大值.

4.探究3abc

abc(a、b、cR)3