小结ppt课件教学实录

第三章不等式复习

教学设计

三维目标

1．通过本章的综合复习，理解并掌握不等式的性质，理解不等关系、感受在日常生活中存在着大量的不等关系、了解不等式(组)的实际背景，能用实数性质比较代数式的大小；掌握用二元一次不等式表示a＋b平面区域的方法，会用线性规划解决实际生活中的常见问题；理解并掌握基本不等式≥ab(a≥0，b≥0)2的应用方法与技巧．

2．通过对一元二次不等式解法的复习，设计求解的流程图，深刻理解三个二次之间的关系．以二次函数为中心，运用二次函数的图像、性质把其余两个联系起来，构成知识系统的网络结构；通过线性规划的最优解，培养学生的观察、联想、画图能力，渗透数形结合等多种数学思想，提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力．

3．通过对全章内容的复习，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动积极的学习品质；通过富有挑战性问题的解决，激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度；同时感受数学的应用性，体会数学的奥妙，感受数学的美丽生动，从而激发学生的学习兴趣，并树立辩证的科学世界观．

重点难点

教学重点：1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、基本不等式〕的概念、方法及应用．

2．深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的理解，加深对线性规划解决实际问题的认识．

3．掌握构建基本不等式解决函数的最值问题，利用基本不等式解决实际问题．

教学难点：三个二次的灵活运用；用线性规划解决实际问题的建模问题；基本不等式解决函数最值的正确运用．

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(直接导入)通过我们的共同努力，我们学到了有关不等式更多的知识与方法，提高了我们解决实际问题的能力，认识了数学的魅力；通过上节的课后作业——阅读本章小结，你是怎样对本章的知识方法进行整合的？由此展开新课．

思路2.(问题导入)先让学生结合本章的小结建议，回忆我们是怎样探究本章知识的？经历了怎样的探究活动？你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗？根据学生回答和所画的知识网络结构图，自然地引入新课．

推进新课

新知探究

提出问题

①通过我们对本章四个部分的回顾，你能作出本章知识框图吗？

②什么是一元二次不等式？怎样求解一元二次不等式的解集？,

a＋b③基本不等式≥aba≥0，b≥0的应用条件是什么？你能给出它的几种几何解释吗？2

④“三个二次”是指哪三个？它们之间具有怎样的关系？活动：教师让学生充分回忆思考，并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究．通过查看课本、笔记及作业一一回顾以上几个问题．确定一元二次不等式的概念后，探究了它的解法，并尝试用一个流程图把求解一元二次不等式的过程表示出来，为前面学过的算法找到了用武之地．

由一元二次不等式的一般形式，知道任何一个一元二次不等式，最后都可以化为ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式．一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数图像有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．

教师给出下列表格，并让学生填空(用多媒体)．

Δ＝b2－4ac Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a＞0)的图像

ax2＋bx＋c＝0的根

－b±Δx1,2＝

2a

[来源:学_科_网]bx1＝x2＝－



2a

ax2＋bx＋c＞0的解集

2

ax＋bx＋c＜0的解集

a＋b学生完成上述的表格后，再引导学生回忆基本不等式≥ab(a≥0，b≥0)的探究过程、证明过程、2成立的条件、几何解释．

下面我们将对以上内容，通过具体例题的探究做进一步的归纳整合．

讨论结果：①～④略．

应用示例

例1

已知集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|| x＋2|＞3}，C＝{x|x2－2mx＋m2－1＜0，m∈R}．若(1)A∩C＝，(2)A∩B⊆C，分别求出m的取值范围．

活动：本例可让学生自己探究解决，或可让两名学生到黑板板演，教师针对出现的问题作点评．

解：(1)∵A＝{x|－4＜x＜2}，B＝{x|x＞1或x＜－5}，C＝{x|m－1＜x＜m＋1}，

欲使A∩C＝，只需m－1≥2或m＋1≤－4.∴m≥3或m≤－5. (2)欲使A∩B⊆C，∵A∩B＝{x|1＜x＜2}，

m－1≤1，m≤2，只需即即1≤m≤2. m＋1≥2，m≥1，点评：本例体现了一元二次不等式与集合的交汇．

变式训练

已知集合A＝{x||2x＋1|＞3}，B＝{x|x2＋x－6≤0}，则A∩B等于(

)．

A．[－3，－2)∪(1,2]

B．(－3，－2]∪(1，＋∞) C．(－3，－2]∪[1,2)

D．(－∞，－3)∪(1,2] 解析：易得A＝{x|x＞1或x＜－2}，B＝{x|－3≤x≤2}．

则A∩B＝{x|1＜x≤2或－3≤x＜－2}．

答案：A ax例2

不等式＜1的解集为{x|x＜1或x＞2}，求a. x－1活动：本例不是一元二次不等式，但可转化为一元二次不等式的形式．训练学生的等价转化能力．

a－1x＋1ax解法一：将＜1化为＜0，即[(a－1)x＋1](x－1)＜0. x－1x－1由已知，解集为{x|x＜1或x＞2}可知a－1＜0，

∴[(1－a)x－1](x－1)＞0. 11∴(1－a)x－1＜0，x＞.于是有＝2. 1－a1－a1解得a＝. 2解法二：原不等式转化为[(a－1)x＋1](x－1)＜0，

即(a－1)x2＋(2－a)x－1＜0. 依题意，方程(1－a)x2＋(a－2)x＋1＝0的两根为1和2，

1－a＝2，∴a－2a－1＝3.1

1解得a＝. 2点评：本例是一道经典题目，学生完成后，可让他们互相交流一下解法，体会等价转化的意义. 变式训练

x－a若关于x的不等式＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝_________. x＋1答案：4 例3

若正数x，y满足6x＋5y＝36，求xy的最大值．

活动：基本不等式的功能就是“和积互化”．通过此例，教师引导学生回忆如何用基本不等式求最值．本例中把积化为和而和恰好为定值．因此，首先联想基本不等式．本例可让学生上黑板板演．

解：∵x，y为正数，则6x,5y也是正数，

6x＋5y∴≥6x·5y＝30xy，当且仅当6x＝5y时，取“＝”．

23654∵6x＋5y＝36，则30xy≤，即xy≤. 2554∴xy的最大值为. 536－6x1点评：本例旨在说明基本不等式的应用．事实上，∵6x＋5y＝36，∴y＝，代入xy，得xy＝x·(3655636－6x)＝－x2＋x(x＞0)，利用二次函数的图像和性质也很容易解出来，教师可在活动前与学生说明．学55生用基本不等式解完此题后，结合学生的板书，对出现的漏洞或错误进行一一点拨，让学生自己去纠正，然后补充一道变式训练作为补偿性练习. 变式训练

23已知＋＝2(x＞0，y＞0)，则xy的最小值是__________．

xy2323解析一：由x＞0，y＞0，得2＝＋≥2·. xyxy23∴xy≥6，当且仅当＝＝1，

xy即x＝2，y＝3时，xy取得最小值为6. π230，，

解析二：令＝2cos2θ，＝2sin2θ，θ∈2xy23∴x＝. 2，y＝2cosθ2sin2θ66∴x·y＝. 22＝4sinθcosθsin22θπ∵sin22θ≤1，当且仅当θ＝时等号成立，这时x＝2，y＝3. 4∴xy的最小值是6. 233x解析三：由＋＝2，得y＝. xy2x－23x2∴xy＝(x＞1)．

2x－1令x－1＝t，t＞0，x＝t＋1. 3t＋123133x21∴＝＝t＋t＋2≥2t·＋2＝6，

2t22t2x－1当且仅当t＝1时等号成立，即x－1＝1，x＝2. ∴xy有最小值6. 答案：6

课堂小结

1．由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法？解决了哪些问题？通过本节复习，你有哪些收获？

2．通过本节复习，深化了“三个二次”之间的关系，加深了不等式基本性质的理解，进一步熟悉了数形结合、函数与方程等数学思想方法；熟悉了简单不等式的证明思路，沟通了各知识点之间的关系．从更高的角度理解了相等和不等的关系．

作业

本章复习题三A组1,2,4,5，B组1,2 第2课时

[来源学*科*网][来源:学&科&网Z&X&X&K]

导入新课

思路1.学完本章后再来看本章的章头图：芭蕾舞演员的美妙身姿，你将会有什么感想？是否感受到了等与不等的辩证互补？感受到等与不等的形影不离及概念上的亲缘关系？本节课将对全章内容进一步归纳整合．

思路2.我们曾对平面区域、线性规划问题进行了探究，解决了我们日常生活中有关资源的分配，人力、物力的合理利用等最优问题．本节课我们将对这些内容做进一步的回顾与提高，进一步提高线性规划这一数学工具的应用意识．

推进新课

新知探究

提出问题

①在直角坐标系中，怎样用二元一次不等式组的解集表示平面上的区域？

②确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么？

③利用线性规划可解决哪些实际问题？渗透了哪些数学思想方法？

④解线性规划实际问题的方法步骤是什么？

活动：教师引导学生回忆并思考以上问题．我们知道二元一次方程ax＋by＋c＝0表示平面坐标系中的一条直线．这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分：在直线ax＋by＋c＝0上或两侧．在直线上的点的坐标满足ax＋by＋c＝0，两侧点的坐标则满足ax＋by＋c＞0或ax＋by＋c＜0.这样，二元一次不等式ax＋by＋c＞0在平面直角坐标系中表示直线ax＋by＋c＝0某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线；若画不等式ax＋by＋c≥0表示的平面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线．

由于对在直线ax＋by＋c＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入ax＋by＋c，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，以a0x＋b0y＋c的正负情况便可判断ax＋by＋c＞0表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当c≠0时，常把原点作为此特殊点．

(此时，教师用投影仪给出下面的图形归纳) 用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：

平面区域

Ax＋By＋C≥0 Ax＋By＋C≤0 Ax＋By＋C≥0 Ax＋By＋C≤0 (A＞0，B＞0，C(A＞0，B＞0，C(A＞0，B＜0，C(A＞0，B＜0，C＜0)

＜0)

＜0)

＜0) 对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，应把边界直线画成说

明

虚线

应用示例

思路1 x＋y－6≥0，x－y≥0，例1

画出不等式组y≤3，x＜5二元一次不等式

表示的平面区域．

活动：为了让全体学生都能准确地画出平面区域，教师可请两名学生上黑板板演，然后对出现的问题作点评．

解：不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集x＋y－6≥0，x－y≥0，合，所以不等式组y≤3，x＜5

表示的平面区域如图2所示．

图2 点评：画平面区域是学生易错的地方，也是用线性规划解决实际问题的关键步骤，一定让学生准确掌握. 变式训练

x≥0，y≥0，如图3所示，在约束条件y＋x≤s，y＋2x≤4是(

)．

A．[7,8]

B．[7,15]

下，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围C．[6,8]

D．[6,15]

图3

图4 x≥0，y≥0，解析：由题意知要求在约束条件y＋x≤s，y＋2x≤4

下目标函数z＝3x＋2y的取值范围，作出如图4所示目标函数取最大值时的可行域．

3z由z＝3x＋2y得y＝－x＋，

22∴在B点处取最小值，C点处取最大值，且B(1,2)，C(0,4)．

∴当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]．

答案：A 例2

某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日工资数如下表所示：

级别

加工能力(个/人天)

成品合格率(%)

工资(元/天) 240

97

65.6 Ⅰ

160

95.5

53.6 Ⅱ

工厂要求每天至少加工配件2 400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少．

活动：学生对求解简单线性规划实际应用题问题的步骤已经很熟悉，让学生独立解决问题，有助于学生解题能力的锻炼与培养．本例的关键是列出约束条件和目标函数，再就是画平面区域．

解：根据题意列出线性约束条件和目标函数．设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x，y人．

线性约束条件：

97%·240x＋95.5%·160y≥2 400，0≤x≤8，6≤y≤12，

29.1x＋19.1y≥300，化简即为0≤x≤8，6≤y≤12.

目标函数为z＝[(1－97%)·240x＋(1－95.5%)·160y]×2＋65.6x＋53.6y，

化简z＝80x＋68y.根据题意知即求目标函数z的最小值．

画出约束条件的可行域，如图5，根据图知，点A(6,6.3)应为既满足题意，又使目标函数最小的点．然而A点非整数点．故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点最近距离，可知(6,7)为满足题意的整数解．

图5 此时zmin＝80×6＋68×7＝956(元)，即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少．

答：每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人，工厂每天支出费用最少．

点评：通过本例的求解我们可以看出，处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型．解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解．它很有实际意义，即它是在以理论指导实际生产需要．实际上，线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．常见类型有：(1)物资调运问题．例如：已知A1，A2两煤矿每年的产量，煤需经B1，B2两个车站运往外地，B1，B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1，A2两煤矿运往B1，B2两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？

(2)产品安排问题．例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A，B，C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？

(3)材料问题．

同学们在课外的研究中将会陆续碰到这些问题．

例3

有三块合金，第一块含60%的铝和40%的铬，第二块含10%的铬和90%的钛，第三块含20%的铅、50%的铬和30%的钛．现需要由它们组成含钛45%的新合金，试求在新的合金中，含铬的百分比范围．

解：设在一个单位重量的新合金中，含第一、第二、第三块合金重量的百分比分别为x，y，z，则含铬百分比为w＝0.4x＋0.1y＋0.5z，

x＋y＋z＝1，x≥0，其中y≥0，z≥0，AB(包括端点)，如图6.

x－2y＋0.5＝0，x≥0，消去z得y≥0，1.5－3y≥0，

x－2y＋0.5＝0，即0≤x≤0.5，0≤y≤0.5，

(x，y)对应的点集为线段图6

2155由于w＝0.4x－1.4y＋0.75，即y＝x＋－w表示的直线与线段AB有公共点，

728711555由此得直线截距的取值范围为≤－w≤，得0.25≤w≤0.4，

428714即含铬的百分比范围是[0.25,0.4]．

课堂小结

1．由学生回顾本节课复习了哪些内容？通过对这些内容的复习，你有什么新的发现？

2．本节课重点复***面区域和线性规划问题，明确了用线性规划的方法解决的两种重要问题．线性规划实质上是数形结合的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤．还结合一道线性规划题目，探究了利用新视角解决问题的方法，打破了思维定势，今后要注意这方面的思维训练，以培养学生思维的灵活性．

作业

本章复习题三A组3,6,7,8，B组3,4，