阅读与思考 错在哪儿名师教学设计2

一元二次不等式及其解法教案

讲课人：李彦培

【教学目标】

理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；

【教学重点】

从实际情境中抽象出一元二次不等式模型和一元二次不等式的解法. 【教学难点】

理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系. 【教学过程】

1.联系旧知，构建新知. 复习：一元二次方程和二次函数. （1）一元二次方程ax2bxc0a0的解法：

bb24ac公式法：x. 因式分解法：xx1xx20. 2a练习（1）x2x20 x11或x22

（2）x22x10 x1

（3）x2x40 无解

2（2）二次函数yax2bxca0. a0 开口向上,图象：一条抛物线. 开口方向： 

a0 开口向下.b4acb2b对称轴： x. 顶点坐标： ,. 2a4a2a2.合作交流，探究新知

（1）一元二次不等式的定义：

1

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. （2）一元二次不等式的一般形式：ax2bxc0或ax2bxc0a0. 会发现一元二次不等式的左边与二次函数和一元二次方程很相似，提出疑问难道这三者之间有什么关系？

（3）探究一元二次不等式（1）x2x20 (2)

x22x10 (3) x22x40的解. 容易知道：一元二次方程x2x20的有两个实数根：x11或x22. 二次函数yx2x2与x轴有两个交点：1,0和2,0. 思考1：观察图象一元二次方程的根与二次函数之间有什么关系？

于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 思考2：观察图象，当x为何值时，y0；

当x为何值时，y0；

当x为何值时，y0. 观察函数图象，可知：

当x1或x2时，函数图象位于x轴上，此时y0，即x2x20；

当

x1或x2时，函数图象位于x轴上方，此时，y0,即x2x20；

当1x2时，函数图象位于x轴下方，此时，y0,即x2x20；

所以，不等式x2x20的解集是xx1或x2. 分组讨论（2）（3）

小组展示

思考3：

我们是怎样找到一元二次不等式的解的呢？

一元二次方程的根----二次函数的图像----一元二次不等式的解

y -1 o 2 x

2

（4）探究一元二次不等式ax2bxc0a0的解法. 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑：

抛物线yax2bxc与x轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程ax2bxc=0的根的情况，而一元二次方程根的情况是由判别式b24ac三种取值情况(0，0，0）来确定. 设相应的一元二次方程ax2bxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b24ac，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生合作讨论完成表格)。

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

bx1x22a

ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

无实根

xxx或xx

12bxx2a

 

R xx

1xx2



3.数学运用，深化认知. 例1.求不等式2x23x20的解集. 解：因为34220.所以方程2x23x20的解是

11x1,x22.所以，原不等式的解集是xx或x2.

222

3

（注：先求方程的根，然后想像对应的二次函数的图象，根据图象写解集）

变式为：求不等式2x3x20的解集. 不等式的解集是x21x2.

2例2．解不等式x22x30. 解：整理，得x22x30.因为0,方程x22x30无实数解，

所以不等式x22x30的解集是.从而，原不等式的解集是.

4.练习检测，巩固收获. （1）求下列一元二次不等式的解集：

x25x14. x24x6.

（2）函数yx2x2的定义域是

A．xx2或x1.

C．x2x1.

6.归纳小结，强化思想.

（1）解一元二次不等式的步骤：

第一步：将一元二次不等式化为标准形ax2bxc0或ax2bxc0a0；

第二步：判断所对应二次方程的根的情况；

第三步：若有根，则求出其根；

第四步：根据一元二次方程的根，画出二次函数的图象；

第五步：结合图象，写出不等式的解集. 概括为：一化→二判→三求根→四画图→五写解集

（2）三个二次问题都可以通过图形实现转换，运用的是数形结合的思想.

(

) B．x2x1.

D．.

7.布置作业. 课本第80页习题A组 1，2.

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