探究与发现 服从二项分布的随机变量取何值时概率最大教学评价实录

教学设计

⒈创设情景——引入概念

首先用三个同学用抽签的方法得到一张周杰伦的演唱会入场券的问题引入新课，激发学生的兴趣.

在生活中我们有些问题不好解决时经常采用抽签的办法，抽签有先后，对每个人公平吗？

探究:

三张卡片中中只有一张写有入场奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到入场券的概率是否比前两名同学小.

【师生活动】师：如果三张卡片分别用X1,X2,Y表示，其中Y表示那张入场券，那么三名同学的抽奖结果共有几种可能？能列举出来吗？

请同学们思考下面问题

思考：如果已经知道第一名同学没抽到入场券，那么最后一名同学抽到入场券的概率又是多少？

【师生活动】

师：因为已知第一名同学没有抽到入场券，所以可能出现的基本事件是什么？

生：可能出现的基本事件有X1X2Y,X1YX2,X2X1Y,X2YX1,

师：“最后一名同学抽到入场券”包含的基本事件是什么？

生：“最后一名同学抽到入场券”包含的基本事件是X1X2Y,X2X1Y，

师：由古典概率计算公式可知，最后一名同学抽到入场券的概率是21，即. 42若用A表示事件“第一名同学没有抽到入场券”则将“已知第一名同学没有抽到入场券的条件下，最后一名同学抽到入场券”

的概率记为P(B|A). 请同学们考虑：已知第一名同学的抽取得结果为什么会影响最后一名同学抽到入场券的概率呢？

在这个问题中，知道第一名同学没有抽到入场券，等价于知道事件A一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A中，从而影响事件B发生的概率，使得P(B|A)P(B)

我们这节课就来研究在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率：P(B|A)

【设计意图】

通过学生身边的抽签问题引入两个事件的概率的求法，学生感到亲切，激发了学生主动探究的学习兴趣．通过学生自己的计算发现不同，进而引出本节课的课题．

由于判断事件的类型对选择概率公式起着决定性影响，因此在引入定义后让学生再做一组判断题练习以巩固对定义的理解. 【练习】判断下列是否属于条件概率

⒈在管理系中选1个人排头举旗，恰好选中一个的是三年级男生的概率

⒉有10把钥匙，其中只有1把能将门打开，随机抽出1把试开，若试过的不再用，则第2次能将门打开的概率

⒊某小组12人分得1张球票，依次抽签，已知前4个人未摸到，则第5个人模到球票的概率

通过以上练习使学生能准确区分条件概率与一般概率. ⒉类比推导——得出公式

用图形辅助理解，引导学生得出“事件A发生的条件下事件B发生的概率等价于局限在事件A发生的范围内考虑事件A和事件B同时发生的概率”，从而将条件概率转化为古典概型的概率，用古典概型的概率公式推导出条件概率的计算公式. P(BA)n(AB)P(AB)

n(A)P(A)A AB B 

⒊讨论研究——归纳方法

进一步引导学生讨论条件概率的定义及计算公式：

⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法

⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式

P(AB)P(A)P(BA)

⑶条件概率的性质

⒋典例讲解——巩固方法

为了使学生达到对知识的深化理解，巩固条件概率的计算方法，针对学生素质的差异，我设计了有梯度的练习与例题，并把课本例题融入其中. 典型例题一：

一个家庭中有两个小孩。假定生男生女是等可能的.已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？ 解(一)：设基本事件空间为  ,A="其中一个是女孩",B="其中一个是男孩"，则

 ={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}.A={(男,女),(女,男),(女,女)},B={(男,男),(男,女),(女,男)}, A 

B={(男,女),(女,男)}

2P(AB)42P(B/A)3233P(A)由已知P(A),P(AB),得444

2因此所求条件概率为3

方法二：缩小基本事件空间法：

A{(男,女),（女,男),(女,女)}P(B/A)n(AB)2n(A)3AB{(男,女)(女,男)}

典型例题二

某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，如果现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？

这是一道有典型条件概率特征的题目，题中的信息量少，难度低，可以由学生尝试独立完成，并口答解题过程. 典型例题三

有5道数学题，其中3道理科题，2道文科题，从中无放回地依次抽取两次，每次抽取1道题，

（1）第一次抽到的是理科题的概率是多少？

（2）第一次和第二次都抽到是理科题的概率是多少？

（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率是多少？

这道题目本身也不是难题。设计这道例题的目的是让学生通过第二问和第三问的对比，让学生进一步理解P(B/A)与P(AB)联系和区别. 解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. 2(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n()A520. 11根据分步乘法计数原理，n(A)A3A412．于是

P(A)n(A)123. n()2052(2）因为

n(AB)A36，所以P(AB)n(AB)63. n()2010(3）解法 1 :由（ 1 ) ( 2 ）可得，在“第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题”的概率

3P(AB)101. P(B|A)32P(A)5解法2 :因为n(AB)6, n(A)12

，所以P(B|A)P(AB)61

P(A)122

小结：条件概率的计算方法有两种：（1）：利用定义计算，先分别计算P(AB),P(A),然后代入公式：P(B|A)P(AB)

P(A)（2）：利用缩小样本空间计算，即将原来的样本空间缩小为已知的事件A，原来的事件B缩小为事件AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)n(AB)

n(A)

【学生分析题】

（一）已知某家庭有3个小孩，且至少有一个是女孩，求该家庭至少有一个男孩的概率. 缩小基本事件空间法

设 A={ 3个小孩至少有一个女孩 } B={ 3个小孩至少有一个男孩 } 因为n(AB)=6，n(A)=7，所以

P(BA)

（二）一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；

⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；

⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率

这是由课本例题改编而成，其中融入了条件概率、概率的乘法公式、以及互斥事件的概率加法公式的运用，是一道难度不大的综合题，可以由学生分析、讨论、研究，教师引导、修正. 可以从以下几个问题对学生加以引导：

⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？

⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？

⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？

最后师生共同完成规范性的、完整的书面表达. 解：设事件Ai(i1，2)表示第i次按对密码

⑴P(A2A1)1

9n(AB)6n(A)7

⑵事件A1A2表示恰好按两次按对密码，则

P(A1A2)P(A1)P(A2A1)911

10910⑶设事件B表示最后一位按偶数，事件AA1A1A2表示不超过2次按对密码，因为事件A1与事件A1A2为互斥事件，由概率的加法公式得：

1412P(AB)P(A1B)P(A1A2B)

5545【引申提高题】

⒈已知5％的男人和2.5％的女人是色盲，现随机地挑选一人

⑴此人是色盲患者的概率是多少？

⑵若此人是色盲患者，则此人是男人的概率是多少？

⒉（05年韶关二模）在M、N两校举行的一次数学解题能力对抗赛中有一道76分的解答题，M校派出选手甲,N校派出选手乙作答。按比赛规则,若该题两选手均未能解出,则每名选手各得0分,若只有一个选手解出,则这个选手得76分,另一名选手得0分;若两选手均解出,则每名选手各得38分.已知甲选手解出这道34题的概率是,乙选手解出这道题的概率是，且至少有一人能解出该题，求甲45选手和乙选手各得38分的概率. 这里有两道题，其中第1题考察学生运用分析问题和运用公式的能力，需要用到古典概型的概率公式、概率的加法和乘法公式、条件概率的计算公式，可以由教师提问，学生思考，小组探究；第2题是一道备用题，选自05年韶关二模第18题第一问，可视课堂的具体情况处理. 通过这种梯度式训练，既使学生巩固基础知识，形成数学建模思想，提高书面表达能力，又对学有余力的学生有所提高，从而达到巩固基础和“拔尖”的目的，这符合教学论中的循序渐进和量力性原则. ⒌总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：

①条件概率的概念；

公式法②条件概率的计算方法；

缩减样本空间法③概率的乘法公式

⒍布置作业——评价反馈

通过本节课的教学内容，布置相应的作业，作业分为必做题和选做题.

7.板书设计

2．2．1 条件概率

1.条件概率定P(B|A)P(AB)P(A)

引 例

例题分析

2.条件概率的性质3.条件概率的求法

4.求条件概率的步骤

练习

小结

作业