探究与发现 组合数的两个性质教案推荐

高二数学 组合数的两个性质教·学案---株洲八中黄玲

【学习目标】

（一）知识与技能 组合数公式、组合数性质. （二）过程与方法

1.进一步熟悉组合数的公式. 2.理解并掌握组合数的两个性质. 3.能够运用组合数公式及两个性质解决有关问题. （三）情感、态度与价值观

通过组合数性质的推导过程，要求学生会用联系的观点看问题，用转化的思想解决问题. 【学习重点】组合数性质及运用组合数公式和两个性质解决有关问题. 【学习难点】转化思想的应用.

【授课类型】新授课

【教 具】课件、导学案

【学习过程】

个性设计

一、引入（导）：

Ⅰ.复习回顾

［师］上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数.（给出投影片）

10!10981207!3!32

1098373C10120.即C10C10327C10二、特例示范（思、议、展、评）：

nm性质1：Cm

nCn【思】［师］为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？

【议】［生］从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素.就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10－7）个元素的组合是一一对应的.因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10－7）个元素的77组合数是相等的，即有C10C10-10

［师］回答得很好，如果上述情况加以推广，我们就可以得到组合数的性质1.

高二数学 组合数的两个性质教·学案---株洲八中黄玲

nm性质1：Cm

nCn【展】证明：由组合数性质有

Cmnn!

m!(nm)!n!n!

(nm)![n(nm)!]m!(nm!)

mCnnnm∴Cm

Cnn【评】［师］针对性质1，我们说明两点：

nnm（1）为简化计算，当m＞时，通常将计算Cm. n改为计算Cn2（2）为了使性质1在m=n时也能成立，我们规定：C0n=1. mm1性质2：CmCCn1nn.

【思】［师］下面，我们来看一道例题. ［例1］一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球. （1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

分析：此题三问只需将球取出即可，并无顺序，故对应的是组合数. 8763解：（1）从口袋内8球中取3个，取法是：C8=56. 3!（2）从口袋内取出的3个球中有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是：

762C7=21. 2!（3）由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是：

765C3=35. 73!［师］从此例题的结果我们能否发现什么？

【议】［生］第（1）问的结果等于第（2）、（3）问的和，23即C8=C37+C7

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［师］你能对这一结果作出解释吗？

［生］从口袋内的8个球中所取出的3个球，可分为两类：一类含1个黑球；另一类不含有黑球.由分类计数原理可知上述等式成立. ［师］下面，我们将此类情形推广，便可得到组合数的性质2. 【展】证明：由组合数公式有：

m1CmnCnn!n!m!(nm)!(m1)![n(m1)]!

n!(nm1)n!m(n1)!Cmn1m!(nm1)!m![(n1)m]!mm1∴Cmn1CnCn

［师］对于这一性质的应用，我们将在下一小节看到.

三、知识巩固（检、练）：

【检】

m1233[例2]求证:Cm3CmCmCmn3Cnnnn3.m1m2m3证明:Cm3C3CCnnnnm1m1223(CmCm)(CmCm)nCn)2(Cnnnn1m2m3(Cmn12Cn1Cn1)1m2m2m3m2m3m3(Cmn1Cn1)(Cn1Cn1)Cn2Cn2Cn3.

评述：此证明要求灵活应用组合数的相关性质.

【练】

1、课本216 A组练习 1、2 2、课本216 B组习题1、2. 四、课时总结

［师］通过本节学习，要求在理解并掌握组合数的两个性质的基础上，能够运用组合数公式及两个性质解决相关问题，并简单了解组合知识在实际中的应用. ●板书设计

§10.4 组合

性质1

例1 nm

CmnCn

例2

解答过程

学习练习

性质2

mm1CmCCn1nn