探究与发现 组合数的两个性质名师教学视频（文字实录）

1．2.2

组

合

第1课时

组合与组合数公式

1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系．

2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．

3.会解决一些简单的组合问题．

,

1．组合的定义

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数的概念、公式、性质

组合数定义

表示法

组合数

公式

性质

备注

1．判断(对的打“√”，错的打“×”) (1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.(

) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C24个积．(

) 3(3)C5＝5×4×3＝60.(

) 2 016(4)C2 017＝C12 017＝2 017.(

) 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数

Cmn

乘积式

阶乘式

－n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）AmnmCn＝m＝

Amm！Cmn＝n！

m！（n－m）！－nmmm1Cm，Cm

n＝Cnn＋1＝Cn＋Cn0①n，m∈N*且m≤n；②规定：Cn＝1 答案：(1)√

(2)√

(3)×

(4)√

2．C2n＝10，则n的值为(

) A．10

C．3

B．5 D．4 n！n（n－1）2解析：选B.Cn＝＝＝10，

2（n－2）！×2！所以n(n－1)＝20，

解之得n＝5，故选B.

3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价有________种．

解析：车票的票价有C23＝3种．

答案：3

组合概念的理解

判断下列问题是排列问题，还是组合问题．

(1)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？

(2)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？

(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？

(4)5个人规定相互通话一次，共通了多少次电话？

(5)5个人相互写一封信，共写了多少封信？

【解】

(1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．

(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．

(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．

(4)甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，无顺序区别，为组合问题．

(5)发信人与收信人是有区别的，是排列问题．

判断一个问题是否是组合问题的方法技巧

区分排列与组合的关键是看结果是否与元素的顺序有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．由此可知，定序问题属于组合，即排列时，如果限定某些元素保持规定的顺序，则定序的这n个元素属于组合问题．

判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．

(1)集合{0，1，2，3，4}的含三个元素的子集的个数是多少？

(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一人，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？

解：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0，1，2，3，4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.

(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36种．

组合数公式、性质的应用

计算下列各式的值．

2(1)3C38－2C5；

3333(2)C4＋C5＋C6＋…＋C10；

5n9n(3)Cn＋Cn＋1. －－8×7×65×42【解】

(1)3C3－2C＝3×－2×＝148.

853×2×12×1mm1(2)利用组合数的性质Cm，

n＋1＝Cn＋Cn－333则C34＋C5＋C6＋…＋C10

3334＝C44＋C4＋C5＋…＋C10－C4

334＝C45＋C5＋…＋C10－C4＝

…

＝C411－1＝329.

5－n≤n，5－n≥0，(3)解得4≤n≤5.

9－n≤n＋1，9－n≥0，又因为n∈N*，所以n＝4或n＝5.

5当n＝4时，原式＝C14＋C5＝5.

4当n＝5时，原式＝C05＋C6＝16. 55555

[变条件]若将本例(2)变为：C55＋C6＋C7＋C8＋C9＋C10，如何求解？

55555解：原式＝(C66＋C6)＋C7＋C8＋C9＋C10

5555＝(C67＋C7)＋C8＋C9＋C10＝…

565＝C610＋C10＝C11＝C11

11×10×9×8×7＝＝462. 5×4×3×2×1

关于组合数公式的选取技巧

(1)涉及具体数字的可以直接用进行计算．

（n－1）！n！nnCm·＝＝Cmn－1＝nn－mn－mm！（n－1－m）！m！（n－m）！

n！(2)涉及字母的可以用阶乘式Cm＝计算．

nm！（n－m）！nm(3)计算时应注意利用组合数的性质Cm简化运算．

n＝Cn－49

1.C4850＋C50＝________．

51×5049492解析：C48＋C＝C＝C＝＝1 275.

505051512×1答案：1 275 n64n22．解方程：C318＝C18. ＋－解：由原方程及组合数性质可知，

3n＋6＝4n－2，或3n＋6＝18－(4n－2)，

所以n＝2，或n＝8，而当n＝8时，

3n＋6＝30＞18，不符合组合数定义，故舍去．

因此n＝2. 117m5－m3．已知m－m＝. m，求C8＋C8C5C610C7m！（5－m）！m！（6－m）！解：原式可化为－

5！6！7×（7－m）！m！＝，

10×7！m！（5－m）！m！（6－m）（5－m）！即－

5！6×5！7×m！（7－m）（6－m）（5－m）！＝，

10×7×6×5！6－m（7－m）（6－m）所以1－＝，

660即m2－23m＋42＝0，解得m＝2或21.

而0≤m≤5，所以m＝2.

5m33所以Cm＝C28＋C88＋C8＝C9＝84. －

简单的组合问题

现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

【解】

(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出210×9个元素的组合数，即C2＝＝45种．

102×1(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；

第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．

2根据分类加法计数原理，共有C26＋C4＝15＋6＝21种不同选法．

2(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C4种，根据分步4×326×5乘法计数原理，共有不同的选法C2×C＝×＝90种．

642×12×1

[变问法]本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？

11解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C6C4种，2男0女有C26种．

12由分类加法计数原理知有C16C4＋C6＝39种．

11最多有1名男教师包括两类：1男1女有C6C4种，0男2女有C24种．

12由分类加法计数原理知有C16C4＋C4＝30种．

解简单的组合应用题的策略

(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．

(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．

[注意]

在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．

1

若对任意的x∈A，则∈A，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－x111，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．

3211解析：具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3.共4组，所以集合M的所有非空子集23中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组，二组，234三组，四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C14＋C4＋C4＋C4＝15.

答案：15

1．组合数公式的两种形式的适用范围

形式

乘积式

阶乘式

2.组合数的两个性质及其关注点

mnm性质1：Cn＝Cn. －适用范围

含具体数字的组合数的求值

含字母的组合数的有关变形及证明

nn－m它反映了组合数的对称性．若m>，通常不直接计算Cm，这样可以减少n，而改为计算Cn2

计算量．

mmm1性质2：Cn. ＋1＝Cn＋Cn－特点是左端下标为n＋1，右端下标都为n，相差1；左端的上标与右端上标的一个一样，右端的另一个上标比它们少1. mm1要注意性质Cm的顺用、逆用、变形用．

n＋1＝Cn＋Cn－1m顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式Cm＝Cmnn＋1－Cn的使用，－为某些项相互抵消提供了方便，在解题中要注意灵活运用．

3．排列问题和组合问题的区分方法

排列问题

组合问题

若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关

若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关

1．下面几个问题属于组合的是(

) ①由1，2，3，4构成双元素集合；

②5支球队进行单循环足球比赛的分组情况；

③由1，2，3构成两位数的方法；

④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．

A．①③

C．①②

B．②④

D．①②④

解析：选C.由集合元素的无序性可知①属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故②是组合问题；③④中两位数顺序不同数字不同为排列问题．

2n32．若Cn12＝C12，则n等于(

) －A．3

C．3或5

B．5 D．15 解析：选C.由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C. 3．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答) 解析：从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C410＝210种分法．

答案：210 3C54n－1＋Cn－34．已知＝3，求n. 35Cn－3

C519n－1解：原方程可变形为3＋1＝，

5Cn－3143即C5n－1＝Cn－3，

5（n－1）（n－2）（n－3）（n－4）（n－5）即

5！14（n－3）（n－4）（n－5）＝·，

53！化简整理得n2－3n－54＝0.

解此二次方程得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)．

所以n＝9. ,

[A

基础达标] 971．(C2A3100＋C100)÷101的值为(

) A．6

11C.

D.

6101B．101 9723333解析：选C.(C2A3A3100＋C100)÷101＝(C100＋C100)÷101＝C101÷(C101A3)＝42．若A3n＝6Cn，则n的值为(

) 11＝. A363A．6

C．8

解析：选B.由题意知n(n－1)(n－2)

n（n－1）（n－2）（n－3）＝6·，

4×3×2×1n－3化简得＝1，所以n＝7. 4B．7 D．9 3．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有(

) A．24种

C．10种

B．12种

D．9种

解析：选B.第一步，为甲地选1名女老师，有C12＝2种选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6种选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种．故选B. 4．(2017·唐山高二检测)现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(

) A．90

B．115

C．210

D．385 231解析：选B.依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C6＝90种；三个黑球，有C4C6＝24种；四个黑球，有C44＝1种．

根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选B. 5．异面直线a，b上分别有4个点、5个点，由这9个点可以确定平面的个数为(

) A．20

C．84

B．9 D．63 解析：选B.由点确定平面与顺序无关，知本题是组合问题．为了使确定的平面不重复，可以这样分类：

第1类，在直线a上任取一点与直线b可确定C14个平面；

第2类，在直线b上任取一点与直线a可确定C15个平面．

1故可以确定C14＋C5＝9个不同平面．

786．若C7n＋1－Cn＝Cn，则n＝________．

78解析：C7n＋1－Cn＝Cn，

878即C7n＋1＝Cn＋Cn＝Cn＋1，

所以n＋1＝7＋8，即n＝14.

答案：14 7．某单位需同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法有________种．

21解析：从10人中选派4人有C410种方法，对选出的4人具体安排会议有C4C2种方法，由分21步乘法计数原理知，不同的选派方法有C410C4C2＝2 520种．

答案：2 520 1m18．若Cm∶Cm＝3∶4∶5，则n－m＝________．

nn∶Cn－＋解析：由题意知：CC1Cm3nm＝，Cn4－

m4nm＋1＝，5n3n－7m＋3＝0，由组合数公式得

9m－4n＋5＝0，解得：n＝62，m＝27.

n－m＝62－27＝35.

答案：35 9．从1，2，3，4，5，6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小3位数？

解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的

6×5×4一个组合，故所有不同的数共有C3＝＝20个．

63×2×110．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．

(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？

(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？

(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？

解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，

8×7×6取法种数是C3＝56.

8＝3×2×1(2)从口袋内取出3个球，有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是2C7＝7×6＝21.

2×1(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×5＝35. 3×2×1[B

能力提升] 21711．式子Cm10＋C10＋－m(m∈N*)的值的个数为(

) B．2 D．4 A．1

C．3

m＋2≤10，解析：选A.由得7≤m≤8，

17－m≤10，所以m＝7或8.

10当m＝7时，原式＝C910＋C10.

9当m＝8时，原式＝C1010＋C10，

故原式的值只有一个．

12．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有(

) A．35种

C．30种

B．70种

D．65种

3解析：选B.先从7人中选出3人有C7＝35种情况，再对选出的3人相互调整座位，共有23种情况，故不同的调整方案种数为2C7＝70. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？

(1)任意选5人；

(2)甲、乙、丙三人必须参加；

(3)甲、乙、丙三人不能参加．

解：(1)从中任取5人是组合问题，共有C512＝792种不同的选法．

(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C29＝36种不同的选法．

(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59＝126种不同的选法．

14．(选做题)某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？

解：可分为如下几类比赛：

(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；

(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；

(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；

(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；

(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．