反比函数在物理学中的应用优质课教案设计

26．2

实际问题与反比例函数

教学目标

知识与技能

能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；能综合利用几何、方程、反比例函数、正比例函数的知识解决一些实际问题．

过程与方法

经过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；体会数学与现实生活的紧密，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．

情感、态度与价值观

积极参与交流，并积极发表意见；体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．

INCLUDEPICTURE栏目.tif重点难点

重点

掌握从实际问题中构建反比例函数模型．

难点

从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．

教学过程) 一、创设情境，导入新课

1．使劲踩气球时，气球为什么会爆炸？

2．小明的妈妈给他做布鞋、纳鞋底时为什么要用锥子？

二、合作交流，探究新知

活动1：

k在学生讨论的基础上，先解决问题1：p＝V(k>0)，在k>0时，体积越小，压强越大，当气球压强大到一定程度，气球会爆炸．

F问题2：p＝S(F>0)，当受力面积越小时，压强会越大，这样更容易穿透鞋底，更省力．

活动2：

材料1：市煤气公司要在地下修建一个容积为104

m3的圆柱形煤气储存室．(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？(2)公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深？(3)当施工队按(2)中的计划挖进地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15 m，相应地，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)? 在此活动中，教师重点关注：(1)能否从实际问题中抽象出函数模型；(2)能否利用函数模型解决实际问题中的现象；(3)能否积极主动阐述自己的见解．

104师生共同得出：(1)容积＝底面积×深度，容积一定为104 m3，所以S·d＝104，即S＝d.所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数．

104(2)当S＝500 m时，d＝500＝20 m. 2

104(3)实际上是d＝15 m时，求S的值，故当d＝15 m时，S＝15≈666.67 m2. 材料2：教材P15例4. 思考：(1)怎样求解析式？(2)如何求功率的范围？

引导：因为电阻的范围为110～220Ω，电阻越大，功率越小，即R取最小，P取最大；R取最大，P取最小．

学生分小组讨论、交流、回答，教师评价．

三、运用新知，深化理解

例1

在某河道治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示．

(1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式；

(2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天才能完成此项任务？

(3)如果为了防汛工作的紧急需要，必须在一个月内(按30天计算)完成任务，那么每天至少要完成多少米？

分析：(1)将点(24，50)代入反比例函数解析式，即可求得反比例函数的解析式；(2)用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；(3)工作量除以工作时间即可得到工作效率．

k1200解：(1)设y＝x.∵点(24，50)在其图象上，∴k＝24×50＝1200，所求函数表达式为y＝x；

(2)由图象可知共需开挖水渠24×50＝1200(m)，2台挖掘机需要工作1200÷(2×15)＝40(天)；

(3)1200÷30＝40(m)，故每天至少要完成40 m. 方法总结：解决问题的关键是掌握工作量、工作效率和工作时间之间的关系．

例2

某商场出售一批进价为2元的贺卡，在销售中发现此商品的日售价x(元)与销售量y(张)之间有如下关系：

x(元)

y(张)

3

20

4

15

5

12

6 10 (1)猜测并确定y与x的函数关系式；

(2)当日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是多少张？

(3)设此卡的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，若物价部门规定此卡的销售单价不能超过10元，试求出当日销售单价为多少元时，每天获得的利润最大并求出最大利润．

分析：(1)要确定y与x之间的函数关系式，通过观察表中数据，可以发现x与y的乘积是相同的，都是60，所以可知y与x成反比例，用待定系数法求解即可；(2)代入x＝10求得y的值即可；(3)首先要知道纯利润＝(日销售单价x－2)×日销售数量y，这样就可以确定W与x的函数关系式，然后根据销售单价最高不超过10元，就可以求出获得最大日销售利润时的日销售单价x. k解：(1)从表中数据可知y与x成反比例函数关系，设y＝x(k为常数，k≠0)，把点(3，20)代入

60得k＝60，∴y＝x；

60(2)当x＝10时，y＝10＝6，∴日销售单价为10元时，贺卡的日销售量是6张；

120120(3)∵W＝(x－2)y＝60－x，又∵x≤10，∴当x＝10时，W取最大值，W最大＝60－10＝48(元)．

方法总结：本题考查了根据实际问题列反比例函数的关系式及求最大值，解答此类题目的关键是准确理解题意．

例3

如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y

℃，从加热开始计算的时间为x分钟．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为4 ℃，加热一段时间使材料温度达到28 ℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．已知第12分钟时，材料温度是14 ℃.

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；

(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？

分析：(1)首先根据题意，材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例函数关系．将题中数据代入可求得两个函数的关系式；(2)把y＝12代入y168＝4x＋4得x＝2，代入y＝x得x＝14，则对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．

k1k1解：(1)设加热停止后反比例函数表达式为y＝x，∵y＝x过(12，14)，得k1＝12×14＝168，则168168y＝x；当y＝28时，28＝x，解得x＝6.设加热过程中一次函数表达式为y＝k2x＋b，由图象知yb＝4，k2＝4，＝k2x＋b过点(0，4)与(6，28)，∴6k2＋b＝28，

解得b＝4，

168∴y＝（x＞6）.

168(2)当y＝12时，代入y＝4x＋4，解得x＝2.由y＝x，解得x＝14，所以对该材料进行特殊处理所用的时间为14－2＝12(分钟)．

方法总结：现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量，解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P15练习．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

五、反思小结，梳理新知

本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含体积、面积这样的实际问题．而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于背景之中，

用数学知识去重新解释这是什么？可以是什么？

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》相关作业．

2．教材P16习题26.2第1～5题．