2.3.1 圆的标准方程公开课教案

4.1圆的方程

4.1.1

圆的标准方程

Ⅰ●三维目标

1．知识与技能

(1)掌握圆的标准方程．

(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．

(3)会判断点与圆的位置关系．

2．过程与方法

(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．

(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．

(3)增强学生用数学的意识．

3．情感、态度与价值观

(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．

(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．

Ⅱ●重点

重点：圆的标准方程及点与圆的位置关系．

Ⅲ●难点

难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程．

Ⅳ●教学过程

【师生互动】

1．在平面内，圆是如何定义的？

【提示】

平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.．

2．确定圆有需要几个要素？

【提示】

2个．

圆心－－确定圆的位置(定位)

半径－－确定圆的大小(定形)

【探究新知、合作交流】

已知圆的圆心c(a,b)及圆的半径r,如何确定圆的方程？P={M||MC|=r}

如图，在直角坐标系中，圆心C的位置用坐标 (a,b) 表示，半径

r的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心C (a,b) 的距离．

则|MC|= r圆上所有点的集合P = { M | |MC| = r } (xa)2(yb)2r

(xa)2(yb)2r2

圆的标准方程：

圆心C(a,b),半径r

(xa)2(yb)2r2

特别若圆心为O（0，0），则圆的方程为：

222xyr

【基础演练】

1圆

(x－2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,半径r =__.

2圆(x+1)2＋(y -3 ) 2＝a2,(a 0)的圆心,半径是？

【典型例题】

：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)

是否在这个圆上。

,3)解：

圆心是A(2

，半径长等于5的圆的标准方程是：(x2)2(y3)225

把M1(5,7)的坐标代入方程

22(y3)25

(x2)左右两边相等，点M1(5,7)

的坐标适合圆的方程，所以点

M1(5,7)

在这个圆上；

把点M2的坐标代入此方程，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以点

M2不在这个圆上．

判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：

1、代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：

（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2

2、几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：

设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：

位置关系

d与r的大小关系

【典型例题】

点在圆外

d＞r 点在圆上

d＝r 点在圆内

d＜r

ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程．

解：设所求圆的方程是 (xa)2(yb)2r2 (1) 因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是

(5a)2(1b)2r2a2222b3

(7a)(3b)rr5(2a)2(8b)2r2

所求圆的方程为

(x2)2(y3)225 （待定系数法）

yL2A(5,1)RO7DxB(7,-3)L1EC(2,-8)

已知圆心为C的圆l:xy10经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在l:xy10上,求圆心为C的圆的标准方程. 分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),由于圆心C与A,B两点的距离相等，所以圆心C在险段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于CA或CB。

解:∵A(1,1),B(2,-2)

3121线段AB的中点D(,),kAB3.

2221线段AB的垂直平分线CD的方程为：y+113(x).

232即：x-3y-3=0

xy10x3

联立直线l,CD的方程：,解得：x3y30y2∴圆心C(-3,-2)

rAC(13)2(12)25.

圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2(y2)225.

总结归纳：比较例（2）、例(3)可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

（1）根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程. （2）根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

1．给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法：

(1)用待定系数法，其一般步骤如下：

①根据题意，设出所求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；

②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；

③解方程组，求出a，b，r的值；

④将a，b，r的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．

这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．

(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如本题法三．

2．求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：

(1)弦的垂直平分线必过圆心．

(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．

(3)圆心与切点的连线长是半径长．

(4)圆心与切点的连线必与切线垂直

Ⅴ●课堂小结

222一、圆的标准方程：(xa)(yb)r

222xyr特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：

二、点与圆的位置关系

（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2

三、求圆的标准方程的方法

1 代数方法：待定系数法

2 几何方法：数形结合

Ⅵ●布置作业

课本p124第1、2、3、4题

Ⅶ●教学反思

圆是学生比较熟悉的曲线,求圆的标准方程既是本节课的教学重点也是难点,为此我布设了由浅入深的学习环境,先让学生熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系,逐步理解三个参数的重要性,自然形成待定系数法的解题思路,在突出重点的同时突破了难点.利用圆的标准方程由浅入深的解决问题,并通过圆的方程在实际问题中的应用,增强学生应用数学的意识.另外,为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力. 这节课学生很投入，他们通过独立思考，相互讨论，交流合作发现知识，教学不仅仅是知识的传授，更重要的是让学生参与获得知识的活动，教师应培养学生主动获取知识的能力。

存在的问题有：前我以为同学在初中学过圆，并且对圆的定义有深入的了解，但实际情况比我想象的更糟糕，同学的基础有点差，在问题的设计处没有达到预期的效果。有关圆的内容非常丰富，有很多有价值的问题，应该选取一些较难的题目供学习好的学生研究。