1.2.2 空间中的平行关系教学内容概述

《1.2.2线面平行判定定理的应用（二）》教案

北京四中顺义分校高一数学

李云璐

必修2

人民教育出版社B版

一．

教学目标

1.

在已经学完线面平行判定定理的情况下，知道要证线面平行，可以转化为证明线线平行，将空间问题转化为线面问题；

2.

掌握使用中位线法和平行四边形法来构造辅助线，证明线线平行；

3.

掌握证明线面平行的书写规范，三个条件不可缺少.

二．

教学重点和难点

1.

教学重点：知道要证明一条直线与平面平行，只需在该平面内找到一条直线与已知直线平行；掌握使用中位线法和平行四边形法来构造辅助线，证明线线平行；

2.

教学难点：如何准确的构造辅助线在平面内找到与已知直线平行的直线

三．教学方法与手段

1. 教学方法：启发式讲授为主，例题探究为辅

. 讲练结合

2. 教学手段：几何画板，三角板，学案

四．

教学过程

前面我们学***行的判定定理，并对该定理进行了简单的应用.由于线面平行是一种非常常见及重要的的位置关系，本节课我们将在熟悉的几何体中继续证明一些线与面的平行.

（一）复习回顾：线面平行的判定定理

请一名同学回答一下，线面平行的判定定理是什么？（生答）

也就是说，要想证明一条直线与平面平行，只需如何？（生答）

师总结：只需在已知平面内找一条直线与面外直线平行，将空间问题转化为平面问题. 这一定理用数学符号如何表示呢？一共几条？比如这个图中（课前画好，老师板书）.

a

b

几何画板展示

例1

（二）典型例题：

例1：在直三棱柱ABC--A1B1C1中, M,N分别是A1C1 , BC1的中点,

求证: MN//平面A1B1BA

A1

B1C1

M

N

A

BC1

给学生思考时间，用于读题看图老师不要说话提醒，让学生独立思考. 问学生有什么想法？要证线面平行，只需证线线平行，在目标平面内找一直线与BD1平行，平面内的这一直线如何确定？（给学生充分思考，尝试，看是否有人说出）我们知道在空间几何体中平行的直线画到平面上依然平行，因此我们可以那直尺平移一下MN，找一下它的平行线，在平面A1B1BA中大概是什么位置.连结A1B.证明A1B//MN.MN是三角形A1C1B的中位线，把三角形A1C1B的三边画出来，目标清晰.（给学生时间画）.请一同学上黑板上写.

总结一下，要证线面平行，只需证线线平行，找三角形找中位线来证平行，也可以找平行四边形来证平行，若需要构造辅助线时，如何找平行线呢？拿直尺平移一下，试着找一下平面中的那条直线. 变式：在直三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AC的中点,求证: AB1//平面BC1D

BC

11A1

BDC

A

给学生思考时间，用于读题看图老师不要说话提醒，让学生独立思考. 我们一起分析如何证明？读题，把有用的信息标在图上，为使目标清晰，我们把AB1和平面BDC1画出来.（给学生时间画）要证线面平行，只需证线线平行，在目标平面内找一直线与AB1平行，平面内的这一直线如何确定？（给学生充分思考，尝试，看是否有人说出）我们知道在空间几何体中平行的直线画到平面上依然平行，因此我们可以那直尺平移一下AB1，找一下它的平行线，在平面BDC1中大概是什么位置.（让学生尝试在学案上找一下，并画出来，留有充足的时间，构造辅助线是一个难点）目测是过点D的直线，两点确定一条直线，那么另一点在BC1的哪儿呢？猜测是中点，这个中点的出现，我们可以取其中点O，也可以把另一对角线连结，交点即为中点.连结DO.（板书构造辅助线的过程）现在我们捋一下思路，要证线面平行，只需证线线平行，现在证AB1//DO，如何证明呢？（写流程图）现在我们知道点D，O是中点，提示我们会有中位线，那么是在哪个三角形中呢？（让学生思考，这是重点）这个三角形中既要有AB1，DO.其中AC是三角形一边，AB1是三角形一边，那么第三边应该是？B1C.连结B1C.（给学生画图时间）AC中点O应该在BD上，也是BD中点.我们把这一三角形用彩笔画出来，（给学生时间画）这样就能把目标阴影平面区分开，也就是DO是三角形AB1C中位线，即有DO// AB1证明了线线平行，进而线面平行，也就是AB1//平面BC1D.（给大家时间，看着图和流程图，捋一下证明过程，如何写出来.找一学生说，老师板书.说明：构造辅助线时，取BC1的中点可以不用写了本题.重复操作）

以上完成证明过程.我们回顾本题证明过程，我们是通过证明线线证明转而证明线面平行，那么，回想一下我们是如何找到的这条直线的呢？（生答：拿尺子比，找一下平行线的大概位置，如果平面中出现了对角线，一般把另一对角线连结起来，出现中点.）

2

练习：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是DD1的中点. 求证：BD1//平面AEC

DC

AB

E

DC

AB

1111

给学生独立思考时间.思考辅助线如何构造，证明过程不着急写.让学生投影展示其辅助线并说明思路.（把中位线所在的三角形彩笔画出来）.请该同学在黑板上板书.若有集中出现的错误，则也投影展示，请学生分析是什么情况.

小结:在构造辅助线时，中点的出现是一个很重要的信息，题干中出现中点提示我们可以在三角形中构造中位线.我们发现可以连接平行四边形的对角线，会出现中点，或者可以直接取线段的中点.来看一下例2.

例2：

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形

，E,F分别是AB,PC的中点，求证：EF//平面PAD.

P

F

DC

AEB

给学生思考时间，用于读题看图老师不要说话提醒，让学生独立思考.学生尝试着在学案上画出辅助线.带学生分析思路，期间请学生说说想法.PD中点的构造是难点，学生不易想到.引导：在PD上取一点H，连结FH，AH，通过证四边形AEFH是平行四边形来证AH//EF.需证HF与AE平行且相等.通过中间量CD，因此需要用到HE是三角形PCD中位线，即需要H是PD的中点.因此，在PD上取得点H应该取PD得中点作为已知条件.（此过程老师引导学生说出分析思路，老师写流程图）

学生看着图和流程图想一下证明过程.请一名学生说证明思路老师板书或者请学生上台写.

小结：这道题在证明线线平行时，既用到了中位线，又用到了平行四边形，因此，我们在分析思路时，画流程图可以帮助我们捋清思路，写证明过程.希望同学们好好利用这一工具解决相对复杂的几何证明题.

3

课堂练习：在长方体ABCD- A1B1C1D1中，E、G分别为BC与C1D1的中点.

求证：EG//平面B B1 D1D.

D1GC1

A1

B1

DC

E

AB

若有时间，请同学们做一下这个课堂练习，分析思路，写流程图.

五．

小结提升：

经过本节课的学习你有哪些新的收获？

请同学发言，

1,证明线面平行可以转化为证明线线平行；

2,证明线线平行时，可以构造中位线和平行四边形；

3,相对复杂的立体几何证明题，可以写流程图辅助. 4,可以通过平移线段在平面内找其平行.......

板书

1.2.2线面平行的判定定理应用

1.

例1：

例2 a//b

ba//

a

变式：

2.证明线线平行的方法

（1）中位线法（中点，找三角形）

（2）平行四边形（对角线互相平分，中点）

4