2.1.1 数轴上的基本公式多媒体教学设计及其点评

2.1.1 数轴上的距离公式与中点公式

【教学目标】

1. 理解数轴上的点与实数之间的一一对应关系，会表示数轴上某一点的坐标．

2. 掌握数轴上的距离公式和中点公式，并能用这两个公式解决有关问题．

3. 培养学生勇于发现、勇于探索的精神；培养学生合作交流等良好品质．

【教学重点】

数轴上的距离公式、中点公式．

【教学难点】

距离公式与中点公式的应用．

【教学方法】 这节课主要采用问题解决法和分组教学法．先从数轴入手，在使学生进一步明确了数与数轴上的点的一一对应关系后，给出数轴上点的坐标的定义及记法，在此基础上进一步学习数轴上距离公式及中点公式．本节教学中，始终要坚持数形结合的思想和方法，让学生积极大胆的猜想，在探索过程中发现和归纳两个公式，以此增强学生的参与意识，提高学生的学习兴趣．

【教学过程】

环节

1．数轴

－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 教学内容

师生互动

设计意图

x 引

入

2．数轴上的点与实数是

对应的．

师：人类早期用石子来记通过引入激发数，但是石子记数不能移动，无学生学习的兴趣．

法携带，于是人们又想到了用结

绳等方法记数．我国古书《易经》上记载有“结绳记数”的历史，即在一根长绳上打上结表示数．随着社会的进步，记数的方法也越来越准确、科学．到了17世纪，法国数学家笛卡儿发明了用直线和直线上的点来表示数的方法，这就是我们现在仍在沿用的数轴表示数的方法．

师：数轴的三要素是什么？

学生回答，教师展示数轴．

师：平面上我们用一对有序实数来表示一个点的位置，在数轴上，我们应当怎么表示一个点的位置呢？

学生思考问题．教师投影，给出数轴上点的坐标的定义及记法．

学生理解概念，教师强调记法．

请同学们结合定义抢答下1

新

课

1. 数轴上点的坐标

P ●

－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 x 在数轴上，如果点P与x对应，则称点P的坐标为x，记作P(x)．

练习一

观察数轴，完成下列题目：

由二维坐标到一维坐标，似乎违反了人的认知规律，但在以往的学习中，学生对两维坐标是熟悉的．通过类比平面坐标得到轴上坐标，学生容易理解．

强化新知识的

第八章

直线和圆的方程

新

课

P B O A ●

●

●

●

－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 x （1）点P与－3.5对应，则点P的坐标是

，记作

；

（2）点A的坐标是

，记作

；

（3）点B的坐标是

，记作

；

（4）点O的坐标是

，记作

．

2. 数轴上的距离公式

探究一

如图，填空：

A D B C ●

●

●

●

－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 x （1）图中点A的坐标是

，B的坐标是

，C的坐标是

，点D的坐标是

；

（2）点A与B之间的距离|AB|=

，点C与A之间的距离|CA|=

，点B与C之间的距离|BC|=

；

（3）你能找出数轴上两点间距离与两个点坐标之间的关系吗？

一般地，如果A(x1)，B(x2)，则这两点的距离公式为

|AB|=|x2－x1|．

探究二

在以上例子中，我们遇到的数轴都是水平放置的，如果数轴不是水平放置的(如下图所示)，数轴上的距离公式成立吗？

y x

4

4 B ●

3 B ●

3 2

2 1

1 0 0

－1 A －1 ●－

2 A ●－

2

－3 －3

－4 －4

试求两个图中点A与B之间的距离．

3. 数轴上的中点公式

列问题．

学生回答，教师点评．

教师投影提出问题，学生分组讨论探究．

教师巡视．

第

(2) 题主要是引导学生从图象上直观地求距离．

学生在尝试解决问题

(3) 的过程中，使认知得到升华．

在探究的基础上，教师给出数轴上两点的距离公式．

教师提出问题，学生观察并尝试解决．

师：不管数轴在平面上怎么放置，两点间的距离公式是不变的．

2 记忆与应用，以形成学生内在的素质．

让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳出数轴上两点间的距离公式，形成知识的主动认知．

使学生由感性认知（算法）上升到理性认知（公式）．

探究二使学生认识到非水平放置的数轴上的两点间的距离公式是不改变的，特别是竖直放置的数轴上的距离问题，为下节解决平面直角坐标系中两点间的距离公式打下基础．

新

课

教师投影提出问题，学生分A D C

组讨论探究．

●

●

●

x －3 －2 －1 0 1 2

（1）点A(－1)，C(－3)的中点坐教师巡视．

标是多少？中点坐标与A，C两点的坐标有怎样的关系？

学生在尝试解决问题的过（2）点A(－1)，D(1)的中点坐标程中，探究中点公式．

是多少？中点坐标与A，D两点的坐

标有怎样的关系？

一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2)在探究的基础上，教师引导的中点坐标x满足关系式

学生归纳出数轴上两点的中点公式．

x1＋x2x＝

．

2

4. 应用

例

已知点A(－3)，B(5)，求：

教师投影，先让学生思考，（1）|AB|；

小组内合作尝试解答．

（2）A，B两点的中点坐标．

解

（1）|AB|＝|5－(－3)|＝8；

教师在学生思考的基础上，（2）设点M(x)是A，B两点的中找个别学生回答，并给予点评．

点，则

－3＋5x＝

＝1．

2

即A，B的中点坐标为1．

练习二

已知点A(－6)，B(－1)，C(2)，小组合作完成，并采用抢答D(4.5)，E(7)，求：

形式，提高课堂学习气氛．

（1）|AB|，|AC|，|BD|，|DE|；

教师针对学生的解答给予（2）A，B的中点坐标，B，E的点评．

中点坐标．

1．数轴上点的坐标．

2．数轴上两点间的距离公式．

3．数轴上两点的中点公式．

回顾本节主要内容，强化一个定义及两个公式．

学生标记作业．

探究三

根据下图回答问题：

让学生通过小组合作，在探究过程中，归纳得出数轴上两点间的中点公式．

在实践中应用本节知识解决有关数轴上的距离和中点问题．

检验并强化本节知识的应用．

简洁明了地概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．

小

结

作

业

教材P67 练习A 组第1题．

教材P67练习B组第3题(选做)．

3