3.1 数系的扩充教学实录与评析

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

学生情况分析：

在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

一、教学目标

1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。

2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

3.了解复数的代数表示法及其几何意义。

4.能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

二、教学重难点

重点: 理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．

难点：复数的有关概念及应用．

三、教具

多媒体

四、教学过程

（一）引入

1.前面我们学习的数系扩充：NZQR 思考：如何解决方程x210在实数集中无解的问题？

（二）新知导学

探究1复数的引入

引导1: 为了解决方程x210在实数集中无解的问题，我们设想我们2引入一个新数i，并规定：（1）i -1 ； （2）实数可以与i进行加法和乘法运算：

实数a与数i相加记为：

ai

；实数b与数i相乘记为：bi；实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记为：abi；

（3）实数与i进行加法和乘法时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

引导2:复数的有关概念：

（1）我们把形如abia,bR的数叫做复数，其中i叫做虚数单位 , 全体复数所组成的集合叫做复数集，常用大写字母 C 表示。

．．

（2）复数的代数形式：

复数通常用小写字母 z 表示，即zabia,bR，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部。

例1请说出复数3i,3i2,0.2i,1,i2的实部和虚部，有没有纯虚数？

b叫引导:考虑复数的有关概念.对于复数zabia,bR，a叫实部，12虚部.

探究2复数的分类：对于复数zabia,bR

当且仅当b0时，复数z表示： 实数 ; 当且仅当a0,b0时，复数z表示： 实数0 ;

当b0时，复数z叫做 虚数 ; 当a0,b0时，复数z叫做 纯虚数 ; 点拨：将新生知识合理分类不仅便于后续学习的应用，还可以培养我们分类划归解决问题的思想，也体现了知识形成的规范性. 例2 实数m分别取什么值时，复数zm1m1i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

探究3复数集C和实数集R之间的关系：

复数集实数（b0）虚数（a0,b0）

虚数（b0）非纯纯虚数（a0,b0）点拨：引入复数后，每一个实数都可以写成复数形式，即每个实数也是一个复数，因此引入复数的过程相当于数系的再一次扩充，所以实数集R和复数集C的关系为RC. 探究4两复数相等

复数z1abia,bR与z2cdic,dR相等的充要条件是 ac且bd.abi0ab0

思考：（1）a+bi=1+ia=b=1成立吗？为什么？

（2）复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小. 强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？如果不

对

应该怎样说？ 点拨：考虑到一个复数是由其实部和虚部共同决定，所以两个复数相等的充要条件为实部

与实部相等，且虚部与虚部相等. 例3已知(2x1)iy(3y)i,其中，x,yR，求x与y．

引导:因为x,yR，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值．

学生练习

变式训练1：.已知复数abi与3(4k)i相等，且abi的实部、虚部分别是方程x24x30的两根，试求：a,b,k的值。

（三）课堂小结：（学生完成）

（四）作业

导学案上的巩固练习

五、反思

巩固练习、反馈不懂或是没有理解的知识 自我检测:

1.判断下列命题是否正确：

（1）若a、b为实数，则zabi为虚数；（ ）

（2）若b为实数，则zbi必为纯虚数； （ ）

（3）若a为实数，则za一定不是虚数；

（ ）

2.（2010四川），设i是虚数单位，计算ii2i3（

）

A-1

B

1

C

-i

D

i 3.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足(

) A.x=－

B.x=－2或－

C.x≠－2

D.x≠1且x≠－2 4.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为(

) A.－1

B.－1或4

C.6

D.6或－1 5.满足方程x2－2x－3+(9y2－6y+1)i=0的实数对(x，y)表示的点的个数是______. 6.已知m∈R，复数z=m(m2)+(m2+2m－3)i，当m为何值时，

m1121212(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.