29.1 点与圆的位置关系优质教案设计

点和圆的位置关系

教学内容

1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d

2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3．三角形外接圆及三角形的外心的概念．

4．反证法的证明思路．

教学目标

1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d>r；点P在圆上d=r；点P在圆内d

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．

3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．

4．了解反证法的证明思想．

复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、•三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆．接下去从这三点到圆心的距离逐渐引入点P•到圆心距离与点和圆位置关系的结论并运用它们解决一些实际问题．

重难点、关键

1．•重点：点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆其它们的运用．

2．难点：讲授反证法的证明思路．

3．关键：由一点、二点、三点、•四点作圆开始导出不在同一直线上的三个点确定一个圆．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面的问题．

1．圆的两种定义是什么？

2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？

3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？

4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．

老师点评：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．

（3）都等于半径．

（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径．

二、探索新知

由上面的画图以及所学知识，我们可知：

设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d 则有：点P在圆外d>r 点P在圆上d=r 点P在圆内dr点P在圆外；如果d=r点P在圆上；如果d

因此，我们可以得到：

这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．

下面，我们接下去研究确定圆的条件：

（学生活动）经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．

（1）作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

（2）作圆，使该圆经过已知点A、B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，

则有：点P在圆外d>r 点P在圆上d=r 点P在圆内d

（3）作圆，使该圆经过已知点A、B、C三点（其中A、B、C三点不在同一直线上），•你是如何做的？你能作出几个这样的圆？

老师在黑板上演示：

（1）无数多个圆，如图1所示．

（2）连结A、B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A、B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．

其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图2所示．

lEBAFODCGA AB

(1) (2) (3) （3）作法：①连接AB、BC；

②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；

③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图3所示．

在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A、B、C•三个点的距离相等（中垂线上的任一点到两边的距离相等），所以经过A、B、C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

即：不在同一直线上的三个点确定一个圆．

也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．

下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆． 证明：如图，假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线L1，又在线段BC的垂直平分线L2，•即点P为L1与L2点，而L1⊥L，L2⊥L，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．

所以，过同一直线上的三点不能作圆．

Pl1l2ABC

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．

例1．某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．

作法：（1）在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段；

（2）作两线段的中垂线，相交于一点．

则O就为所求的圆心．

三、巩固练习

教材P93 练习1、2、3、4．

四、应用拓展

例2．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，AB=48cm，CD=30cm，高27cm，求作一个圆经过A、B、C、D四点，写出作法并求出这圆的半径（比例尺1：10）

分析：要求作一个圆经过A、B、C、D四个点，应该先选三个点确定一个圆，•然后证明第四点也在圆上即可．要求半径就是求OC或OA或OB，因此，•要在直角三角形中进行，不妨设在Rt△EOC中，设OF=x，则OE=27-x由OC=OB便可列出，•这种方法是几何代数解．

作法分别作DC、AD的中垂线L、m，则交点O为所求△ADC的外接圆圆心．

∵ABCD为等腰梯形，L为其对称轴

∵OB=OA，∴点B也在⊙O上

∴⊙O为等腰梯形ABCD的外接圆

设OE=x，则OF=27-x，∵OC=OB ∴152x2(27x)2242

解得：x=20 ∴OC=152202=25，即半径为25m．

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五、归纳总结（学生总结，老师点评）

本节课应掌握：

1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则

点P在圆外dr;点P在圆上dr;

点P在圆内dr. 2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3．三角形外接圆和三角形外心的概念．

4．反证法的证明思想．

5．以上内容的应用．

六、布置作业

教材P101 复习巩固 1、2、3．