完全平方公式的运用教学设计第二课时

11.3 公式法

——运用完全平方公式分解因式

昌黎县马坨店乡初级中学 宋丽艳

【指导思想与理论依据】

在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学目标。

【教学背景、教学内容】

分解因式是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。因此，因式分解的学习有助于发展学生有条理的思考及语言表达能力。

根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。

【学情分析】

学生在前面已经学习了整式的运算及乘法公式，对乘法公式的特征有了一定的认识。在本节课之前又学习了用提取公因式法和运用平方差公式分解因式，对因式分解的概念及意义有了初步的理解，这些都为本节课的学习奠定的必要的基础。

再者，经过初中将近一年的学习，学生对中学数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力。同时，在上节课学***方差公式分解因式时，又经历的逆向思维的训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备。

当然，由于学生对完全平方公式的认识还不深刻，在判断完全平方式的时候可能会遇到一些困难，在教学中一定要引起高度的重视，既要注意“整体动作”，又要注意“分解动作”。帮助学生度过这一难关，对顺利学习因式分解是非常有必要的。

【教学目标设计】

知识与技能：

熟练地应用完全平方公式分解因式。

过程与方法：

1.理解完全平方式的特点；

2.能运用完全平方公式进行因式分解；

3.能灵活地应用各种方法将一个多项式分解因式。

情感态度与价值观：

通过综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。

【教学重点】

认识完全平方式，会用完全平方公式分解因式

【教学难点】

- 1 -

灵活应用公式进行因式分解。

【教学方法】

启发诱导法和练习法，并辅以讲解法、分析法。

【教具准备】

多媒体课件

【教学过程设计】

教学流程图：

公式完全平方式与完全平方课前热身→新课讲解→课堂小结→课堂练习→练习）应用举例（例题与相关作业

一、课前热身：

1.已学过的分解因式的方法有哪些？

2.选择题：

（1）下列各式能用平方差公式分解因式的是（

）

A.4X²+y² B. 4 x- (-y)²

C. -4 X²-y³ D. y²- X²

（2）1-4a² 分解因式的结果应是 （ ）

A.

(1+4a)(1–4a) B. (1 –2a)(1–2a)

C.

(2a +1)(2a–1) D. (1+2a) (1–2a)

3．把下列各式分解因式：

①-16+x ②x-xy ③m-1 ④ab(x-y)+ab(y-x) 4.填空：

（1）(a+b)=__________ （2）(a-b)=__________ 设计目的：通过针对性的复习，为本节课的学习扫清障碍。

22433232二、新课讲解：

完全平方式与完全平方公式

1.公式：

把乘法公式(a+b)=a+2ab+b和(a-b)=a-2ab+b反过来，就得到： a+2ab+b= (a+b)和a-2ab+b= (a-b)

这就是说，两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。

我们把形如“a+2ab+b和a-2ab+b”的式子叫做完全平方式。

上面的两个公式a+2ab+b=(a+b)和a-2ab+b=(a-b)叫做完全平方公式。

2.完全平方式的形式和特点：

2222222222222222222222a2±2ab+b2 ①项数：三项；

②有两项是两个数的平方和，并且这两项的符号相同；

③还有一项是这两个数的积得2倍，符号正负均可。

- 2 -

可以简单概括为：

“首”平方，“尾”平方，“首”“尾”2倍中间放.

3.相关练习：

a、判断下面各式是不是完全平方式？

(1)x+2xy+y (2)A-2AB+B

(3)甲+2×甲×乙+乙 (4)△-2×△×★+★

b、下列各式是不是完全平方式？

(1)a+b+2ab (2)-2xy+x+y

(3)x+4xy+4y (4)a-6ab+b

(5)x+x+22422222222222222222c、请补上一项，使下列多项式成为完全平方式：

(1)m+____+n (2)4a+9b+____ (3)x-____+4y (4)a+____+(5)x+2xy+____ 2222222122 (6)a+2ab+4b

412b

4设计目的：让学生先独立思考，通过观察，自己发现规律，必要时与前后桌同学交流自己的看法，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，然后畅所欲言，总结自己的发现，并鼓励其他同学予以补充，以此来提高学生的语言表达能力和严密性,激发兴趣，加深对公式的理解和掌握。

应用举例

我们可以通过公式a+2ab+b=(a+b),a-2ab+b=(a-b)把“完全平方式”分解因式. 我们称之为“运用完全平方公式分解因式”。

例4：分解因式：① 9x-12x+4 ②25x+10x+1 分析：利用完全平方公式分解因式的关键是看多项式是否符合公式的特点，此题符合吗？

解：① 9x-12x+4=（3x）-2·3x·2+2 = (3x-2)

首42222 2222242222222-2·首·尾+尾=(首-尾)

222222②25x+10x+1=（5x）+2·5x·1 + 1= (5x+1)

首22 + 2·首·尾+尾=(首+尾)

2222练习：请运用完全平方公式将下列各式分解因式：

①x+4x+4 ②a-6a+9 ③4a+4a+1 ④n-6mn+9m⑤x+222 例5：把(x+y)－6(x+y)+9分解因式. 122+x ⑥4a-12ab+9b

4222分析：多项式中的两个平方项分别是(x+y) 和3，另一项6(x+y)=2·(x+y)·3，符合完全平方式的形式，这里“x+y”相当于完全平方式中的a，“3”相当于相当于公式中的b，设a=x+y，我们可以把原式变为(x+y) 2－6(x+y)+9=a－6a+9，因而能运用完全平方公式，得到(a－3). 22 2在解题过程中，可以把代换这一步骤省略. 解：(x+y)－6(x+y)+9 - 3 -

=(x+y)－2·(x+y)·3+3

=(x+y－3). 总结：把较复杂的多项式(x+y)－6(x+y)+9，通过代换a=x+y，使原多项式转化为关于字母a的二次三项式a－6a+9，从而可以用完全平方公式分解因式，这种通过代换解决问题的方法是数学中经常用到的一种重要的思想方法. 通过以上例题可以看到，在给出的多项式中，两个平方项可以是单项式(包括数)，也可以是多项式. 例6：把–x–4y+4xy分解因式。

分析：这个多项式的两个平方项的符号均为负，因此不符合完全平方式的形式，不能直接运用完全平方公式把它因式分解，如果把它的各项均提出一个负号，那么括号内的多项式就符合完全平方式的结构特点，从而可以运用完全平方公式分解因式. 解：-x-4y+4xy =-（x+4y-4xy）

=（x-4xy+4y）

=[x-2·x·2y+ (2y)] =-(x-2y)

指出：

1.在一个多项式中，两个平方项的符号必须相同，才有可能成为完全平方式. 2.在对类似的多项式因式分解时，一般都是先把完全平方项的符号变为正的，也就是先把负号提到括号外面，然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式。

练习：

将下列各式分解因式：

①-x+2xy-y ②-4-9a+12a ③-a-4ab-4b ④-25x-30xy-9y

设计目的：通过引导学生自主探究、合作交流，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。通过让不同学情的学生板演练习，及时发现问题，巩固新知，帮助学生熟练掌握应用完全平方公式进行因式分解，从而培养学生分析问题、解决问题的能力。

2222222222222222222222 22三、课堂小结：

(1)分解因式的方法和步骤：

首先想到公因式，然后考虑用公式；

两种方法反复试，提净分完连成式。

(2)运用公式分解因式前注意该多项式是否符合公式的形式和特点；

(3)完全平方式具备的特点：

①项数：三项；

②有两项是两个数的平方和，并且这两项的符号相同；

③还有一项是这两个数的积得2倍，符号正负均可。

(4)用完全平方公式分解因式时，平方项的前面是负号时，先把负号提到括号外面。

设计目的：结合前两节因式分解的方法加以总结，培养学生综合运用因式分解方法的能力。

四、课堂练习：

1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）

A、a+b+ab B、a+2ab-b 2222- 4 -

C、a-ab+2b D、-2ab+a+b

2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）

A、x+y-2xy B、x+4xy+4y C、a-ab+b D、-2ab+a+b

3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）

A、x+2xy-y B、x-xy+y C、4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）

A、x+6xy+9y B、x-2xy+y C、x-4xy+4y D、x+xy+y

5、如果100x+kxy+y可以分解为（10x-y),那么k的值是（ ）

A、20 B、-20 C、10 D、-10 6、如果x+mxy+9y是一个完全平方式，那么m的值为（ ）

A、6 B、±6 C、3 D、±3 7、把(a+b)+4(a+b)+4分解因式得（ ）

A、(a+b+1) B、(a+b-1)

C、(a+b+2) D、(a+b-2)

8、计算100-2×100×99+99的结果是（ ）

A、1 B、-1 C、2 D、-2 思考题: 多项式(x+y)-2(x-y)+(x-y)能用完全平方公式分解吗? 22222222222222226336422442242nnn2n2222222222222222121222 x-2xy+y D、x-xy+y44五、作业：

课本152页 “习题”A组第1-4题

板书设计：

公式：例：--------------

--------------

练习：题课题

-------------- --------------

特点：

-------------- --------------

----------------------------

课前热身: -------------- -------------- -------------- -------------- - 5 -