2.3.1 圆的标准方程优质教案设计

2.1 圆的标准方程

宁夏贺兰县第一中学

李薇

【三维目标】：

1掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。反过来，能根根据圆的标准方程写出圆的圆心、半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力. 2 会用待定系数法求圆的标准方程。也要掌握数形结合求圆标准方程的方法，形成代数方法处理几何问题的能力，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

3就本节课而言，让学生欣赏和体验圆的对称性，感受解析几何的奥妙，感受数学美. 【教学重点】：

1圆的标准方程的推导过程，及圆的标准方程特点的明确；

2待定系数法求圆的标准方程

【教学难点】：

1会根据不同的已知条件，利用待定系数法，求圆的标准程。

2 结合初中平面几何所学的圆的性质，分别求出圆心和半径大，写出圆的标准方程

【教学方法】：

启发-引导-合作探究式

【教学过程】

一、

情景创设

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探究一：已知圆的圆心A(a,b)及圆的半径R,如何确定圆的方程？

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。

（其中a、b、r都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满

足的条件是（引导学生自己列出）

P={M||MA|=r}, 由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件

_

C_

R_

(

x

,

y

)

M_y

(xa)(yb)r

①

22化简可得：

_

x(xa)2(yb)2r2

②

引导学生自己证明(xa)2(yb)2r2为圆的方程，得出结论。方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程. 我们把方程②称为圆的标准方程。（standard equation of circle ）（即圆上每一点的横、纵坐标满足的关系式）

注意：

1圆的标准方程的特征，圆心A(a,b),半径r; 2确定元的标准方程的条件,三个参数a,b,r 222思考：当圆心在原点时圆的方程为？（x+y=r）.

巩固练习：

1写出下列圆的标准方程

(1)圆心在C(-3,4),半径长是5；

(2)圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1).

2说出下列圆的圆心、半径

(1)(x+1)2＋(y＋3)2＝2；（进一步分析圆标准方程的特征）

(2)(x-1)2＋y2＝a2；(a0)(注意半径为a，说明a=0是可看做圆的极限形式——点圆). 二、知识应用与解题研究

例1：写出圆心为A(2,3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,7),M2(5,1)是否在这个圆上.

解：圆心是A(2,3)，半径长是5的圆的标准方程是: (x-2)2＋(y＋3)2＝25

把点M1、M2的坐标代入圆的方程(x-2)2＋(y＋3)2＝25中，M1（2，-3）使得方程左边等于右边，而M2（-5，-1）使方程左右不相等，所以，点M1、在圆上，

M2不在圆上. 探究二：点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的关系的判断方法：（几何画板演示）

（1）(x0a)2(y0b)2>r2，点在圆外

（2）(x0a)2(y0b)2=r2，点在圆上

（3）(x0a)2(y0b)2

同类练习：课本课本P121练习2、3题.（利用计算器）

练习：圆心为

A(3,-1) 半径长等于5的圆的方程

(

)

A

(x – 3 )2+(y – 1 )2=25

B

(x – 3 )2+(y + 1)2=25

C

(x – 3 )2+(y + 1 )2=5

D

(x + 3 )2+(y – 1 )2=5

变式一：

圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的圆的标准方程？

（挑战高考：2006年重庆高考题）

变式二：

以点（2，-1）为圆心且与直线

3x-4y+5=0相切的圆的方程为（

）

A (x – 2 )2+(y +1 )2=3

B (x + 2 )2+(y -1 )2=3

C (x – 2 )2+(y +1 )2=9

D (x + 2 )2+(y – 1)2=3

变式三：ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圆的方程.

师生共同分析：从圆的标准方程(xa)2(yb)2r2

可知，要确定圆的标准方程，先要确定a、b、r三个参数.（学生自己运算解决）

方法一：待定系数法；

（教师在黑板上板演解题过程）

方法二：先通过几何作图把圆心和半径找到，然后计算出来，代入圆的标准方程. （叫一个学生起来说思路，教师配合用PPT播放过程）

同类练习：课本P121练习第4题. 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较两种可得出ABC外接圆的标准方程的两种求法：

①根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r的值，写出

圆的标准方程. ②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写、

出圆的标准方程.

三、作业：

基础作业：课本124页：A组第2题

挑战作业：

见PPT 四、小结：

1、圆的标准方程; 2、点与圆的位置关系的判断方法; 3、根据已知条件求圆的标准方程的方法; 五、板书设计

课题：圆的标准方程一：方程的推导过程 -

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-

- - - - - - - -

(xa)2(yb)2r2

二：点与圆的位置关系

1.

2.

3.

三：例题讲解：

例1：- - - - -

- - - - - -

例2：- - - - - -

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