2.2.2 直线方程的几种形式名师教学设计2

数学基础模块

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8.2.3 直线方程的几种形式（二）

【教学目标】

1. 掌握直线的一般式，理解二元一次方程与直线的对应关系．

2. 了解直线的方向向量和法向量的概念，了解直线的方向向量、法向量及斜率之间的关系．

3. 培养学生事物之间的普遍联系与互相转化的辩证唯物主义观点．

【教学重点】

直线的一般式方程，直线的方向向量和法向量．

【教学难点】

二元一次方法与直线的对应关系，直线的方向向量、法向量与斜率的关系．

【教学方法】 这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．首先从所学的直线方程入手，揭示所学过的直线方程都可以表示成Ax＋By＋C＝0的形式，引入了直线的一般方程的概念．在引入直线方程的一般式后，介绍了直线的方向向量和法向量的概念，进而讨论了方向向量与斜率的关系、法向量与一般式方程中一次项系数之间的关系，为以后进一步讨论两条直线的位置关系等内容打下基础．

【教学过程】

环节

教学内容

1．根据下列条件，写出直线的方程：

（1）经过点A（8，–

2），斜率是－1；

（2）截距是2，斜率为1；

引

入

（3）经过点A（4，2），平行于x轴；

（4）经过点A（4，2），平行于y轴．

2．上述几种形式的直线方程，都可以表示成Ax＋By＋C＝0的形式吗？

新

课

师生互动

教师指出问题，学生解答．

学生尝试回答，教师问而不答．

设计意图

创设问题情境，启动学生思维．

通过实例体会只有直线的一般式能表示所有的直线

．

1. 直线的一般式方程

平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？

对直线的倾斜角进行讨论：

（1）

当≠90时，直线斜率为k＝tan ，其方程可写成y＝kx＋b，可变形为

教师提出问题．学生分类讨论，分小组探究．

在学生充分讨论的基础上，找个别学生回答，教师点评．

通过探究让每一位学生都能积极主动参与到教学活动中，并且敢于发表自己的见解，调动了学生学习的兴趣，使学生的主体地位得到充分的体现，也使得本节课的重点和难点得以1

第八章

直线和圆的方程

新

课

Ax＋By＋C＝0，

其中A＝k，B＝– 1，C＝b．

（2）当＝90时，直线斜率不存在，其方程可写成x＝a的形式，也可以变形为

Ax＋By＋C＝0，

其中A＝1，B＝0，C＝a．

结论：

平面直角坐标系中任何一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）来表示；反之，每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．

直线的一般式方程：

关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为零）叫做直线的一般式方程．

2. 直线的方向向量与法向量

（1）如果非零向量a所在的直线与直线l平行，则称a为直线l的一个方向向量；

（2）如果非零向量n所在的直线与直线l垂直，则称n为直线l的一个法向量．

你能找出直线x＝2的一个方向向量和一个法向量吗？直线的方向向量与法向量有怎样的关系？

探究一

（1）如果直线l过点P1 (x1，y1)

突破．

使学生明确二

元一次方法与直线师：（1）在平面直角坐标的对应关系

系中，表示任何一条直线的方程都是关于x，y的一次方程；

反之，每一个关于x，y的一次

方程都表示直角坐标系中的一

条直线．

（2）直线方程的特殊形式

与一般形式可以互相转化．

教师强调A，B不同时为零．

明确直线的一

般式方程．

师：根据方向向量的定义，引入直线的方一条直线的方向向量有多少？向向量及法向量．

它们什么关系？

师：根据法向量的定义，一

条直线的法向量有多少？它们

什么关系？直线的方向向量与

法向量关系是怎样的？它们坐

标满足什么条件？

生：向量a＝（0，1）是直

线x＝2的一个方向向量，向量n

＝（1，0）是直线x＝2的一个

法向量．它们互相垂直．

学生分小组讨论并回答问探究直线的方2

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新

课

→和P2(x2，y2)，向量P1P2的坐标是多少？它是直线l的一个方向向量吗？

（2）令＝x2－x1，如果≠0，且直线l的斜率为k，则

y2－y1(x2－x1，y2－y1)＝ (1，) x2－x1＝

(1，k)，

那么，向量(x2－x1，y2－y1)与向量(1，k)是什么关系？向量(1，k)是直线的一个方向向量吗？

探究二

（1）设l的一般式方程为

Ax＋By＋C＝0，

如果P2(x2，y2)和P1(x1，y1)都在直线上，两点P2，P1满足怎样的关系？

（2）把得到的两个关系式相减，你能得到怎样的式子？

（3）由A(x2－x1)＋B(y2－y1)＝0→能说明向量n＝(A，B)与向量P1P2垂直吗？

（4）向量n＝(A，B)是直线l的一个法向量吗？

结论：

如果知道直线的斜截式方程y＝kx＋b，则(1，k)是它的一个方向向量；如果知道直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0，则(A，B)是它的一个法向量．

例3

求下列直线的一般式方程，并指出它的一个方向向量和法向量：

（1）过点(－3，－2)，且斜率为－2；

（2）过点（5，5），且倾斜角为120．

解

（1）直线的点斜式方程为y－(－2)＝(－2)[x－(－3)]，化简得y＝－2x－8，所以该直线的一般式方程为

2x＋y＋8＝0．

由上知，(1，－2)为直线的一个方向向量，(2，1)为直线的一个法向题，教师点评．

学生小组讨论并回答问题，教师点评．

师：直线y＝－2x＋3的一个方向向量是多少？法向量是多少？

师：第（1）题给出的条件是什么？能直接写出直线的什么形式？

你能由直线的点斜式方程直接得到一般式方程吗？

向向量与斜率的关系．

探究直线法向量与一般方程的关系．

通过探究将本节重点和难点分化，并激发学生的学习兴趣．

总结规律．

本节内容的初步应用．

3

第八章

直线和圆的方程

新

课

师：由倾斜角如何求出直线

的斜率？

k＝tan 120＝－3，

所以直线的点斜式方程为

y－5＝

－3(x－5)，因此该直线的一般式方

程为

3x＋y－5－53＝0．

由上知，(1，－3)为直线的一

个方向向量，(3，1)为直线的一个法

向量．

练习一

学生练习，教师巡视指导．

强化训练．

求下列直线方程的一般式，并指对第（2）题，可以指导学

出它的一个方向向量和法向量：

生利用数形结合来解．

1（1）斜率为，过点（－1，2）；

2

（2）过点(1，1)且平行于x轴．

知识应用．

例4

求下列直线的一般式方

程：

（1）(1，4)是直线的一个方向向

量，且在y轴上的截距为5；

（2）(3，4)是直线的一个法向量，

且直线通过点(－1，－2)．

解

（1）由已知可得直线的斜

率为4，所以直线的斜截式方程为

y＝4x＋5，因此一般式方程为

4x－y＋5＝0；

师：第（2）题中用到了一教师可结合学（2）由已知可设直线方程为

种数学方法叫待定系数法．

生情况，介绍待定

3x＋4y＋C＝0，其中C为待定系系数法．

数．代入点(－1，－2)，有

3(－1)＋4(－2)＋C＝0，

解得C＝11，因此直线的一般式方程

为

3x＋4y＋11＝0．

练习二

学生练习，教师巡视指导．

强化训练．

求法向量为（1，2）且过点（3，0）的直线的一般式方程．

量．

（2）因为直线的斜率为

1．直线一般式方程

Ax＋By＋C＝0．

2．直线的方向向量．

3．直线的法向量．

师生共同回顾本节所学直线方程的一般式及直线的方向向量和法向量．

总结本节内容．

小

结

4

数学基础模块

下册

作

业

教材P82练习A组第1题，第2题．

教材P82练习B组第3题(选做)．

学生标记作业．

针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．

5