2.基本不等式名师教学设计

选修4-5不等式选讲

基本不等式

一、教学目标

（一）学习目标

1.学会推导并掌握基本不等式定理；

2．能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题.

（二）教学重点

基本不等式定理的证明及应用.

（三）学习难点

基本不等式等号成立的条件及应用基本不等式整体代入的思想.

二、教学设计

（一）课堂设计

1.知识回顾

（1）比较两个实数的大小可用作差比较法. （2）不等式的六条基本性质. （3）运用不等式的基本性质时要特别注意两边同乘一个数时的正负.

2．问题探究

探究一

认识基本不等式

①将重要不等式用定理的方式给出，并让学生思考代数证明. 定理1 如果a,bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立.

证明：由作差比较法得，(a2b2)2ab(ab)20，且当且仅当ab时，等式成立.

②实验探究几何解释（用过折纸实验找出一些相等关系或不等关系）：

实验：将正方形纸片的各条边上选择相同的等分点构成四个全等的三角形并折入

正方形内部，得到如图所示的“弦图”.设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长

.思考：（１）正方形ABCD的面积

（２）四个全等的直角三角形面积之和

（３）

和

有怎样的不等关系？

教师引导学生从面积的关系通过小组合作的方式去找相等关系和不等关系. 正方形面积

四个全等直角三角形面积之和

.由图可知

，

即

.

当直角三角形变为等腰直角三角形

，即

，时中间的正方形缩为一个点，这时有

.

即

③

基本不等式

将定理1作简单的恒等变形（用

和

来替换a和b），就可以得到以下的基本不等式：

定理2（基本不等式）

如果a,b0，那么号成立.

证明：因为ab(a)2(b)22ab2ab，所以abab，当且仅当2abab，当且仅当ab时，等2ab，即ab时，等号成立.

如果

，

都是正数，我们就称

为

，

的算术平均，

为

，

的几何平均.于是，基本不等式可以表述为：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.也可以解释为两个数的等比中项不大于它们的等差中项.

基本不等式的几何意义：

了解基本不等式的使用步骤

基本不等式可以用证明不等式以及求某些代数式的最值，使用时要注意：

“一正”：使用基本不等式的两个数或式必须是正数；

“二定”：求最值时，使用基本不等式的两个数或式应该和或积为定值；

“三相等”：要验证能否取得等号，若能，则所求为最值，否则，不是，可参考双勾函数的图像求最值. (ab)2ab由基本不等式：

ab，得ab2ab,ab42（1）当积为定值时，和有最小值，为2ab；

(ab)2（2）当和为定值时，积有最大值，为. 4利用基本不等式求“积”与“和”的最值. （二）例题讲解

例

（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？

（3）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大的面积是多少？

（三）实际应用

求证：（1）在所有周长相同的矩形中，正方形的面积最大；

（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短.

证明：设矩形的长为

，宽为

. （1）

设矩形周长为定值

，即

为定值. 根据基本不等式

，

可得

. 则矩形面积

，

当且仅当

时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，面积 取得最大值 . （2）

设矩形面积为定值

，即

为定值. 根据基本不等式

，

矩形的周长

，

当且仅当

时，等号成立，即当且仅当矩形是正方形时，周长

取最小值

. 归纳整理，整体认识

本节课你有什么收获？

1、数学知识: 2、数学思想:整体思想、数形结合

3、数学方法:分析法

作业

1、

跟同学一起讨论基本不等式的其他几何解释. 2、

（利用不等式解决实际问题）某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800

，深为3

.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？