1.不等式的基本性质教学设计及课堂实录

不等式的基本性质

唐县第一中学于会茹

教学目标：

1.理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。

2.掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法。反证法证明简单的不等式。

教学重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

教学难点：灵活应用不等式的基本性质。

教学过程： 一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。这节课开始我们高考最后一个大题也就是选修4-5不等式的学习--不等式的基本性质. 二、不等式的基本性质：

1、实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

abab0

abab0

abab0

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。

2、不等式的基本性质：

①、如果a>b，那么bb。(对称性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c。（传递性）

③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>ba+c>b+c。（可加性）

推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d

a+c>b+d．

④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac

⑤、如果a>b >0，那么anbn

(nN，且n>1)（乘方）

⑥、如果a>b >0，那么nanb

(nN，且n>1)。（开方）

三.例题分析

题型一

作差法比较大小

例1

已知a，b是正实数，比较ab＋与a＋b的大小．

baab【解析】

方法一：∵＋－(a＋b)

ba（a）3＋（b）3－（a＋b）ab＝

ab（a＋b）（a－2ab＋b）＝

ab（a＋b）（a－b）2＝，

ab∵a＋b>0，ab>0，(a－b)2≥0，

ab∴＋≥a＋b.

ba方法二：∵ab＋－(a＋b)

baab＝(－b)＋(－a)

baa－bb－a＝＋

ba（a－b）（a－b）＝

ab（a＋b）（a－b）2＝≥0，

ab∴ab＋≥a＋b.

ba【思考题1】当a≠0时，比较(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)与(a2＋a＋1)(a2－a＋1)的大小．

分析：比较两个数的大小，将两数作差，若差值为正，则前者大；若差值为负，则后者大．

解：(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)－(a2＋a＋1)·(a2－a＋1)＝(a2＋1)2－2a2－[(a2＋1)2－a2]＝－2a2＋a2＝－a2. 又∵a≠0，∴－a＜0. ∴(a2＋2a＋1)(a2－2a＋1)＜(a2＋a＋1)·(a2－a＋1)．

反思 (1)用作差法比较两个数(式)的大小时，要按照“三步一结论”的步骤进行，

即：作差―→变形―→定号―→结论，其中变形是关键，定号是目的．

(2)在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形的常用技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等．

(3)在定号中，若为几个因式的积，需对每个因式先定号，当符号不确定时，需进行分类讨论. 2

题型二：不等式性质的应用 [例2] 下列命题中正确的是(

) (1)若a＞b，c＞b，则a＞c； (2)若a＞b，则lg＞0；

11(3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd；(4)若a＞b＞0，则<；

abab(5)若＞，则ad＞bc； (6)若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c. A．(1)(2)

B．(4)(6) C．(3)(6)

D．(3)(4)(5) abcd[思路点拨] 本题考查对不等式的性质的理解，解答本题需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断．

[精解详析] (1)错误．因为当取a＝4，b＝2，c＝6时，有a＞b，c＞b成立，但a＞c不成立．

(2)错误．因为a、b符号不确定，所以无法确定＞1是否成立，从而无法确定lg＞0是否成立．

(3)错误．此命题当a、b、c、d均为正数时才正确．

(4)正确．因为a＞b，且a、b同号，所以ab＞0，两边同乘以(5)错误．只有当cd＞0时，结论才成立．

1ababab，得＜. 11ab

(6)正确．因为c＞d，所以－d＞－c，又a＞b，所以a－d＞b－c. 综上可知(4)(6)正确．

[答案] B

cd(3)已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0，a－b＞0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题有几个？

答案

：3个

题型三：利用不等式的性质求范围

【例3】已知－ππα＋βα－β≤α＜β≤，求，的取值范围．

2222πππαππβπ≤α＜β≤，∴－≤≤，－≤≤，因而两式相加得

22424424错解：∵－－πα＋βππβπ≤≤，又∵－≤－≤，

222424∴－παβππα－βπ≤－≤，∴－≤≤. 2222222πα＋βππα－βπ≤≤和－≤≤的错误，222222错因分析：在解答本题的过程中易出现－导致该种错误的原因是忽视了正解：∵－αβππ，都不能同时取到和－. 2244πππαππβπ≤α＜β≤，∴－≤＜，－＜≤. 22424424πα＋βππβππβπ因而两式相加得－＜＜. 又∵－＜≤，∴－≤－＜，

222424424πα－βπ∴－≤＜. 222

又∵α＜β，∴α－βπα－β＜0，∴－≤＜0. 222α＋βππα－βπ－，，即的取值范围为的取值范围为－，0. 22222反思 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础．在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．运用不等式性质时要注意条件，如倒数法则要求两数同号；两边同乘一个数，不等号方向是否改变要视此数的正负而定；同向不等式可以相加. ππππ思考题3

已知－2≤α＋β≤2，－2≤α－β≤2，求α，β的取值范围．

引申：如何

求2α+β的范围

四.课堂小结: 1.掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法。反证法证明简单的不等式。

2. 不等式的基本性质的应用，比较大小，判断不等式，求解参数的取值范围. 五．作业：课时作业1