二 一般形式的柯西不等式优秀教案内容

3.1柯西不等式

临高中学 数学组 杨亮

一、教学目标：

1.知识目标：理解柯西不等式的结构特点，能简单应用解题。 2．素养目标：由柯西不等式结构特点及应用训练学生数据分析和数学运算能力，培养逻辑推理和数学抽

象及数学建模的核心素养。 二、教法与学法：

探索数学核心素养下如何通过微课辅助教学的“置疑－－发现－－认识－－应用－－再发现－－再认识－－再应用－－内化”培优补差教学模式。

三、教学过程：

一）、引入：介绍柯西

柯西27岁即当选为法国科学院院士，还是英国皇家学会会员和许多国家的科学院院士.柯西创造力惊人，发表了789篇论文，出版专著7本。从他23岁写出第一篇论文到68岁逝世的45年中，平均每月发表一至两篇论文. 我最欣赏柯西的名言：“人总是要死的，但业绩应该永存”希望大家和他一样成为终身学习的典，渗透思想教育。

二）、温故引新（置疑）

1、我们由前面学过的两个重要不等式a+b≥2ab和a+b≥2

(a>0,b>0)可知(a+b) ab

(a+b)这三者之间a+b与a+b到ab的转化关系。那么，a+b与a+b有没有内在的转化关系呢？谁知道？

2222、谁能猜测一下a+b+c与a+b+c有什么关系？怎么证明？有没有别的方法能快速证明它们呢？这就是我们今天重点要研究的“柯西不等式”，学会了它我们就可以快速解决此类问题。

22222222

三）、探究新知（发现）：微课展示：

1.大家看教材31－－32页，二维柯西不等式的基本形式是：

a,b,c,d都是实数，则：

当且仅当ad=bc时，等号成立。（分析法证明）

要证明

222222222222只需：ac+ad+bc+bd≥ac+2abcd+ bd成立

2222只需：ad+bc≥2abcd 22只需：（ad-bc）≥0成立。当ad=bc时（ad-bc）≥0显然成立。

2.下面我们对比均值定理

来分析一下柯西不等式的结构特点和适用条件：

“一正，二定，三相等”

即首先来说公式适用条件是两个正数，揭示的是他们和与乘积的关系；第二要求和与积有一个为定值（和定积最大，积定和最小），第三要有等号成立的条件（a与b相等）

那么，柯西不等式

结构特点和适用条件是什么样的呢？

首先，它适用条件是4个实数，揭示的是两两平方和的积

与两两积的和的平方

之间的关系。

第二要求

与

有一个为定值，（积定和大，和定积小）

第三也要有等号成立的条件ad=bc

所以，类比均值定理

“一正，二定，三相等”

我们可以把柯西不等式

归纳为“一4，二定，三相等”

4.我们知道，均值不等式

可以推广到3个正数和n个正数。那么柯西不等式能不能有类似结论呢？

答案看教材39页，一般形式的柯西式不等式：

设a1,a2,a3,...,an,b1,b2,b3,...,bn是实数，则：

当且仅当bi=0(i=1,2,...,n)或存在一个数k使得ai=kbi(i=1,2,...,n)时，等号成立。

5.那么，如何使用

来解题呢？我们来看个实例：

(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3

+4

,则函数f(x)的最大值为________. 由柯西不等式知(3

+4

)≤(3+4)·[(

)22222 +(

)]=25.当且仅当3

=4

时,等号成立,因此f(x)≤5. 变式：给你式子a+b（a>0,b>0）我们不要单纯的看成两个数的和，它也可以看成4个数

进

而用公式

（

）

来计算。

当然也可以看成两个数的平方和：

进而用公式

来计算。

这就是数的奥秘和神奇。每一个公式定理都不是万能的，柯西不等式也一样。不是所有的不等式证明或用不等式求最值问题都可以用柯西不等式来解决。我们需要把它和前面学过的重要及均值不等式等综合到一起，灵活运用拼凑、拆分、构造等建模思想方法才能最终解决问题。

四）、点拔强化（认识）：

五）、尝试解题（反馈）：

六）、即时小测（应用）：

七）、深入剖析（再发现）：

八、能力提升（再认识）：

九）、研讨延伸（再应用）：

2013·新课标全国Ⅱ高考理科）

设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：

（1） a2b2c21

bca十）、总结（内化）：

作业：习题36页1、3