三 反证法与放缩法优秀教学设计内容

放缩法在数列不等式证明中的应用（教师教案）

-------放缩后能裂项相消

教学目标：1、掌握通过放缩，利用裂项相消法解决数列中的不等式证明问题。

2、掌握常用的放缩的结论。

教学重、难点：放缩的技巧和尺度

教学过程：

一．知识回顾（学生回答）

1.已知数列an的通项公式an其中通项公式可以裂项为an1欲求数列an的前n项和Sn则需用裂项相消法。

n(n1)，111

n(n1)nn11，欲求数列an的前n项和Sn则需用裂项相消法。

(2n1)(2n1)2.已知数列an的通项公式an其中通项公式可以裂项为an1111()

(2n1)(2n1)22n12n12n3．已知数列an的通项公式ann，欲求数列an的前n项和Sn则需用裂项相消法。

n1(21)(21)2n11其中通项公式可以裂项为ann

(21)(2n11)2n12n11二．题型讲练

例1（引导学生思考，老师示范板演）：例1：数列an中，an2n1，它的前n项和为Sn，求证：1112

S1S2Sn证明：

Snn2；

当n1时，显然成立；当n2时，n2n(n1)

所以1111111111112

2221nS1S2Sn11223n(n1)2n故1112

S1S2Sn变式1. （2013广东高考理19（3））

数列an中，an2n1，它的前n项和为Sn，求证：1117

S1S2Sn4

1

证明：知ann2(nN*)

①当n1时，171，原不等式成立。

a1411171，原不等式成立。

a1a24411

2n(n1)(n1)②当n2时，③当n3时，n2(n1)(n1)•所以，

111111111

2221S1S2Sn12n1324(n1)(n1)111111111111711171(1)1(1)()

232435n1n122nn142nn14对一切正整数n,有11a1a217

an4小结：利用放缩可以证明数列不等式，常见的放缩有：

2n2n2n2n111 (1) n(n2)

2nnnnnn1n1n(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121

(2)11111112(k2,kN*)

kk1k(k1)kk(k1)k1k1

124k212k12k14 (3)

1422k4k(4)

2(k1k)2kk1122(kk1)(k2,kN*)

kkk1(5)

11111(k2,kN*)

3kk(k1)(k1)2k(k1)k(k1)例2.（学生自主练习，老师纠错讲评）例2.

数列an中，an2n1，它的前n项和为Sn，求证：1115

S1S2Sn3

变式2：已知数列bn满足bn8922，求证：数列bn的前n项和Tn

182n12

证明：因为bn242n12

所以Tnb12b22b3244bn2

492542n12，

当n2时，42n1244111，

4n24n14n24nnn1n1n所以Tn44492542n12

4411119233411

n1n

. 401189．（从第3项开始放缩）

92n18小结：放缩时注意观察题目的条件与特点，选用适当的放缩尺度。

三．巩固练习：

2n1已知数列an中ann1，求证：a1(a11)a2(a21)an(an1)1 212n112n12n11证明：an(an1)n1n1n1.

n1nn1nn12121(22)(21)(21)(21)2121ai(ai1)(i1n1111)()211221221231(111)11

2n12n112n111．已知数列{an}的首项a11，前n项和Snn2an（n1），（1）求数列{an}的通项an；（2）设b10，2Sn1n2(n2)，Tn为{bn}前n项和，求证Tnbn

n1Sn（1）解：由Snn2an，Sn1(n1)an12ann11

anan1n1n(n1)n1n2111nbn1snn，sn1

nn(n1)n1n2n22因为1111

n2n(n1)nn1111111111...)n(...)

1223nn11222n2所以Tnn(n2n11n

nnn1n1n1

3

2．设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11,nN*，且a1,a25（1）求a1,a3成等差数列．的值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有11a1a213．

an22a1a2221a11解：（1）由题2(a1a2)a3231，解得a25a1.

，故1a192(a5)aa3213（2）当n1时，a11；当n2时，2Snan12n11

① 2Sn1an2n1

②

n①-②得

2anan1an2n，整理得3anan12, 为an13anan1(1)，故n1(n2)为公比2n122n2ana3993n23n11()()，an3n2n，经验证当n1时，的等比数列，首项为2，故2n2242422a1132.

nn*a32(nN)

．

n综上，nnnnn

（3）（法一）an323[1()]3111a1a2a3111an313n1

311n13313.

n11223n12313n1Cn2n12n2n

23（法二）当n3时，

12an3n2n(12)n2n1Cn2Cn22121Cn2Cn22n12Cn2n1Cn222n(n1)

又因为a2522(21)，所以，an2n(n1),n2．

所以，11111()

an2n(n1)2n1n111a1a2a3111111(1an223411113)1(1).n1n2n2

所以，（法三）当n2时，an3n2n(32)(3n123n22n1)n2n12n，

111a1a2a31111(23an221n11313n)122n1.

2211222214

3．已知数列{an}满足：a1a1，an1nn．

,nN*（其中e为自然对数的底数）2eanen．

n1（1）求数列{an}的通项an；（2）设Sna1a2an，求证：Sn解：（1）an1e11n，

，即e1．

nnn1eanean1anean1ean11

令bnn1，则bn1bn1，b12，

eana1因此，数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列．bn2(n1)1n1，

11．

…………………………………6分

ann1n1bne(n1)ean1（2）（方法一）先证明当nN*时，en1n．

设f(x)ex1x,x[1,)，则f(x)ex11，

当x1时，f(x)0，

f(x)在(1,)上是增函数，则当x1时，f(x)f（1）0，即ex1x．………8分

1111*n1因此，当nN时，en，an，

…………9分

n1(n1)e(n1)nnn111*n当nN时，n1e，ane(2n1)．

…………………10分

n1nn1(n1)eee111111nSna1a2an(1)()()1．12分

223nn1n1n1附：一些常见的裂项放缩策略：

（1）11111112(k2,kN*)

kk1k(k1)kk(k1)k1k2kk1122(kk1)(k2,kN*)

kkk1（2）2(k1k)(3)

11111*(k2,kN)

3kk(k1)(k1)2k(k1)k(k1)4n1 124n212n12n14(4)1422n(5)1211 12Cn1Cn(n1)n(n1)n(n1)n(n1)1n!11111(r2) rrr!(nr)!nr!r(r1)r1rnr (6)Tr1Cn1n1115 (7)(1)11n2132n(n1)2

5

(8)1n2(2n12n1)222n12n12n11n22

2n2n2n2n111 (9) (n2)

(2n1)2(2n1)(2n1)(2n1)(2n2)(2n1)(2n11)2n112n1 (10) 1n31nn21111 n(n1)(n1)n(n1)n(n1)n1n111 n1n1nn11n1n1 n12nn1 (11) 2 (12) n1nnn2n12n22(31)233(21)221n 3213nn1(n2) 1k211 (13) k!(k1)!(k2)!(k1)!(k2)!n(n1)22i2j2 (14) i1j1ij(ij)(i21j1)2iji12j121

6

放缩法在数列不等式证明中的应用（学生学案）

-------放缩后能裂项相消

学习目标：1、掌握通过放缩，利用裂项相消法解决数列中的不等式证明问题。

2、掌握常用的放缩的结论。

一．知识回顾

1.已知数列an的通项公式an其中通项公式可以裂项为an1，欲求数列an的前n项和Sn则需用裂项相消法。

n(n1)1=

。

n(n1)1欲求数列an的前n项和Sn则需用裂项相消法。

(2n1)(2n1)，2.已知数列an的通项公式an其中通项公式可以裂项为an1=

。

(2n1)(2n1)2n3．已知数列an的通项公式ann，欲求数列an的前n项和Sn则需用裂项相消法。

n1(21)(21)2n其中通项公式可以裂项为ann=

。

(21)(2n11)二．题型讲练

例1：数列an中，an2n1，它的前n项和为Sn，求证：

变式1：（2013广东高考理19（3））

数列an中，an2n1，它的前n项和为Sn，求证：

7 1112

S1S2Sn1117 S1S2Sn4

小结：利用放缩可以证明数列不等式，注意根据题目的条件选取放缩的策略。

例2. 数列an中，an2n1，它的前n项和为Sn，求证：

变式2：已知数列bn满足bn1115 S1S2Sn38922，求证：数列bn的前n项和Tn

182n1

小结：放缩时注意观察题目的条件与特点，选用适当的放缩的项数。

三．巩固练习：

2n11．已知数列an中ann1，求证：a1(a11)a2(a21)an(an1)1 21

8

2、已知数列{an}的首项a11，前n项和Snn2an（n1），（1）求数列{an}的通项an；（2）设b10，2Sn1n2bn

(n2)，Tn为{bn}前n项和，求证Tnn1Sn

3．已知数列{an}满足：a1a1,nN*（其中e为自然对数的底数），an1nn．

2eanen．

n1（1）求数列{an}的通项an；（2）设Sna1a2an，求证：Sn

（思考题2012高考题）．

设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11,nN*，且a1,a25（1）求a1的,a3成等差数列．值；（2）求数列an的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有

9 11a1a213．

an2

附：一些常见的裂项放缩策略：

（1）11111112(k2,kN*)

kk1k(k1)kk(k1)k1k2kk1122(kk1)(k2,kN*)

kkk1（2）2(k1k)(3)

11111(k2,kN*)

3kk(k1)(k1)2k(k1)k(k1)4n1 124n12n12n12(4)1422n4(5)1211 12(n1)n(n1)n(n1)n(n1)CnC1n1n!11111(r2) rrr!(nr)!r!r(r1)r1rnnr (6)Tr1Cn (7)(1 (8)1n1n1115)11 n2132n(n1)2222n12n12n11n222(2n12n1)

2n2n2n2n111 (9) n(n2)

2nnnnnn1n1n(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121 (10) 1n31nn21111 n(n1)(n1)n(n1)n(n1)n1n111 n1n1nn11n1n1 n12nn1 (11) 2 (12) n1nnn2n12n22(31)233(21)221n 3213nn1(n2) 1k211 (13) k!(k1)!(k2)!(k1)!(k2)!n(n1)2222i1j1ij (14) ij(ij)(i21j1)2iji12j121

10