2.基本不等式第二课时教学设计

1.1.2 基本不等式

一、教学目标

1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．

3．掌握用基本不等式求一些函数的最值．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解定理1和定理2(基本不等式)．

四、教学难点

掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．

五、教学过程

（一）导入新课

11已知lg x＋lg y＝2，则＋的最小值为______．

xy【解析】

∵lg x＋lg y＝2，

∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，∴xy＝102，

11∴＋≥2xy11＝，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．

xy51【答案】

5（二）讲授新课

教材整理1

两个定理及算数平均与几何平均

1．两个定理

定理

定理1

内容

a2＋b2≥

(a，b∈R)

1 等号成立的条件

当且仅当

时，等号成立

定理2

a＋b≥

(a，b＞0)

2当且仅当

时，等号成立

2.算术平均与几何平均

如果a，b都是正数，我们称

为a，b的算术平均，

为a，b的几何平均．

教材整理2

利用基本不等式求最值

已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则

(1)如果P是

，那么当且仅当

时，S取得最小值

；

(2)如果S是

，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值

典型例题

探究点：利用基本不等式求函数最值

1f(x)x例1.已知

x>0 ,求

的最小值

x

∵

x0

∴fxx当且仅当x112x2

xx1时取等号，即x1

x变式训练1 11.求

f

(

x

)



x



的值域

x当

x0时

fxx112x2

xx1时取等号，即x1

x当且仅当x

当x0时

f(x)[xx]2

2

1当且仅当x时取等号

x即x1时

∴值域是(,2][2,)

在此题后面可引入对勾函数yx本不等式

512.已知x



,求

f

(

x

)



4

x



2



的最小值

44x55∵x

4a(a0)的图像，以此数形结合来理解基x∴f(x)4x51132(4x5)()35

4x54x51取等号

4x5当且仅当4x5即x3时

2试一试：自己出道题

c1b

3.已知

x





，

求

y



ax



(

a



0

)

的最小值

aaxc引导学生自己出题，并和同学交换做出来

x21x0时，求 f(x)例2

当 的最小值

2x∵x0

f(x)1111(x)*2*x1

2x2x1时取等号，即x1

x当且仅当x

3

2xf(x)2x0时，求 变式训练2 当 的最大值

x1∵x0

f(x)21x1x2*11

2当且仅当x

1时取等号，即x1

x2x3的最小值吗？

思考：能用基本不等式

求 f(x)2x2

f(x)令tx221x22

x22

其中t2

t2111f(x)t2t*2

ttt当且仅当t122

即tx21取等号

t去等号的条件不成立

所以本题目不能用基本不等式求最值，可考虑用对勾函数

通过本题目，我们知道基本不等式并不能求所有的最值。

例3 设

0



x



1

，求函数

的最大值

∵0x1

yx(1x)1x1x∴yx(1x)

24当且仅当x1x，即x

4 21时等号成立

2

变式训练3 设

0



x



,求函数

y

(

3

x

)

的最大值



4

x

2∵

0x3

223292x32x∴y2(2x)*(32x)2

22当且仅当2x32x时，等号成立，即x试一试：自己出道题

3时

410x)

，其中

(a2.已知

，求

y



ax

(1



bx



0

,

b



0

)

的最大值

b引导学生通过自己出题给同组同学做的方式，加深对此类题目的理解。接本类题目的组建是找出合适的a和b，使得a+b出现定值

19例4 已知

x



0

0

，且





1

，求

x



y

的最小值

,

y

xy∵x0,y0

199xy9xyxy(xy)()1921016

xyyxyx当且仅当9xy时，等号成立

yx即y3x

又∵191

xy∴x4,y12

5

变式训练4 xy4 已知 ，求 的最小值

x0,y0，且 ∵x0,y0

1x9y19xy1919119xyxy19210∴4

xyxy44yx4yx当且仅当9xy时，等号成立

yx即y3x

又∵191

xy∴x4,y12

本类题目的技巧的是巧妙的用1，如果已知等式给的值不是1，就要把它化成1.

（四）随堂检测

111、已知

lg

lg

y



2

，则

x

y

的最小值为

x

0

,

y

2、设

x



0

，且

2



xy



x

8

y0

，求

的最小值

53,

y

3、已知





1

(

x



0

0

)

，则

xy

的最小值

xy81yx4、当

x



时，函数

2

1

的最小值

x

2xy(x

15、已知正实数

x

,

y

满足



1

)(

y

)



16

，求

x



y

的最小值

6