2.基本不等式第一课时教学实录

2.基本不等式

授课教师：皮山县高级中学 张永彬

教学目标：

知识与技能

1.学会推导并掌握均值不等式定理；

2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。

过程与方法

通过实例探究抽象基本不等式。

情感态度与价值观

通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

教学重点：

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。

教学难点：

应用基本不等式解决实际问题。

教学工具：

多媒体

教学方法：

演示法与讨论法

教学方式：

多媒体

教学过程设计:

环节一

创设情境，提出问题

活动1：欣赏数学家会标，提炼出里面蕴含的不等关系

素养指向：数学抽象、数据分析

情境

如图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

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探究1：会标中有哪些几何图形？能否从正方形、三角形的面积角度来思考，寻找相等关系和不等关系？

【设计意图】融入数学史，渗透数学的文化价值，通过适度点拨，引导学生利用图形中的面积之间存在的数量关系，抽象出重要不等式。

思考：你能对重要不等式a2b22ab进行证明吗？等号成立的条件是什么？你能从图形中对“等号成立”进行解释吗？

【设计意图】引导学生从图形上对式子等号成立的条件进行几何解释，增强学生用图“形”表现“数”、用“数”解释图“形”的意识。

环节二

基本不等式的发现与证明

活动2：合作学习，建模探究

素养指向：数学抽象、数学建模、逻辑推理

探究2（操作）：请同学们拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们分别沿对角线对折成两个等腰直角三角形。假设两个正方形的面积分别是a,b，则两个等腰直角三角形的面积分别ab是,，请跟周围同学讨论一下，如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和裁剪可以构成一22个分别以a,b为长和宽的矩形，对比该矩形的面积与两个等腰直角三角形的面积和，你有什么发现？

【设计意图】采用剪拼纸片的手工活动，从多边形纸片裁剪掉小三角形纸片后得到的矩形纸片面积变小，学生从中发现并提炼出公式化的基本不等式。

活动3：多角度认识基本不等式，深化理解，揭示本质

素养指向：数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象

【定义】通常我们把ab2ab写成把ababa0,b0，称其为基本不等式。其中，2ab叫做两个正数a,b的算术平均数，ab叫做两个正数a,b的几何平均数，当且仅当2ab时，上述等号成立。

ababa0,b0用文字语言如何描述？从数列的角度，还可以怎2第

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问题1：基本不等式么描述？

【设计意图】引导学生将符号语言转化成文字语言，巩固学生对基本不等式结构的认识；进一步从数列的角度分析，加深学生对基本不等式本质的理解，同时也让学生建立起新旧知识之间的联系。

问题2：我们学习了一元二次方程，以a,b为根的一元二次方程是什么？其判别式有什么特点？

【设计意图】通过构造方程并运用判别式大于等于0得到基本不等式，意在沟通等式与不等式之间的联系，发展学生的辩证思维。

问题3：你能否借助已证的重要不等式a2b22ab，分析ab2aba0,b0的成立性吗？

【设计意图】激发学生的思维，使其从多角度发现重要不等式a2b22ab与基本不等式ab2aba0,b0的内在联系。

问题4：如图2，取线段ABab，其中ACa,BCb，以AB为直径作O，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD. D （1）

试找出图中哪条线段表示a,b的算术平均值？哪条线段表示a,b的几何平均值？它们分别有什么几何意义呢？

A （2）

移动点C在线段AB上的位置，你有什么结论呢？

（3）你能从图中解释基本不等式O C E B ababa0,b0等号成立的条件吗？

2【设计意图】借助学生熟悉的平面几何图形，引导学生从几何图形中抽象出基本不等式，使学生体会从形到数的转化，逐步领悟数形结合思想的内涵；设置探究问题，可以促使学生从运动、变化的角度思考问题和解决问题。

活动4：多种方法证明基本不等式

素养指向：数学抽象、逻辑推理

思考：刚才我们得到这个不等式的过程，就是它的几何证明方法，你还能用其它方法证明这个不等式吗？

【设计意图】引导学生运用作差法、分析法、综合法等方法证明基本不等式，让学生了解这些证法的要领和步骤。

环节三

基本不等式的应用

活动5：完成相关练习，加深对基本不等式的理解

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素养指向：数学运算、逻辑推理

问题5：由基本不等式出发，你还能推导出哪些结论？

【设计意图】引导学生根据刚学的不等式的性质和已推出的结论导出更多的结论，一方面可以促使学生对公式的灵活应用，为后续的不等式的证明教学做铺垫；另一方面，创造机会可以让学生进行发散性思维的训练，有助于学生的探究、创新、逻辑论证能力的提升。

例：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短．最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大的面积是多少？

【设计意图】体现基本不等式的实际运用，让学生感受到数学来源于生活，服务于生活。

习题：设正实数a，b满足a＋b＝1，则(

) 11A.a＋b有最大值4

C.a＋b有最大值2

1B.ab有最小值

2D．a2＋b2有最小值2

2解析：选C

由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab1111a＋b11111≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，abab24abab22(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b有最大值2，故选C.

课堂小结：

1、

知识内容：

一个公式、两个概念、三类语言、四种证法。

ababa0,b0

2ab两个概念：算术平均数，几何平均数ab

2一个公式：三类语言：符号语言、文字语言、图形语言

四种证法：比较法、分析法、综合法、几何法

2、

数学思想：数学建模、数形结合

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板书设计：

作业布置：

教材第10页习题1.1的第5,6,7题

课后作业：

请同学们课后在网上查找基本不等式的其他代数几何证明方法，整理并相互交流。

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