2.2.2 反证法教学评价实录

人教A版高中数学选修1-2教学设计

第二章第2节第2课时

反证法

选修1-2 反证法教学设计

【学习目标】

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。

【学习重难点】

学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。

学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。

【学法指导】

通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.

【学习过程】

一、学前准备

1、复习回顾

上节课我们学习了用 ， 直接证明问题的方法。但是有的问题是显然成立的或要分成多种情况进行讨论。我们再用直接方法就显的比较困难或麻烦，那么证明一个问题的成立是不是还有其他的方法呢？这节课我们就来学习用间接的方法证明一个问题是成立的——反证法。

2、看故事并回答：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的吗?答：

。

他运用了怎样的推理方法? 答： 。

3、自学课本42页内容，写下摘要疑惑：

1

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第二章第2节第2课时

反证法

（1）定义：

反证法：在证明一个命题时,人们有时先假设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知条件矛盾,或者与 等矛盾,从而得出假设的结论不成立,即所求证的命题的结论正确.这种证明方法叫做反证法. （2）步骤

反证法证题的基本步骤：

1．假设 的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出与 矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了 成立.（结论）

二、自学、合作探究

1、用具体例子体会反证法的含义及思路

思考：将9个球分别染成红色或者白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。你能证明证明这个结论吗？

2、由上述的例子归纳反证法的步骤（A、B组自己归纳; C、D组看课本）

1．

2．

3．

三、例题讲解

例1.已知a0，证明x的方程axb有且只有一个根. b证明：因为a0所以方程至少有一个根x

a假设方程至少有2个不等的实数根x1,x2则ax1b,ax2b两式做差得ax1x20因为x1x2所以x1x20即a0与a0矛盾. 所以假设错误，方程axb有且只有一个根. 例2．若都是正数，且xy2,求证：1x1y与都不小于2 xy1y1x2至少有一个成立. 2和xy证明：假设则1y1x2

2且xy1x2y且1y2x

所以1x1y2y2x即xy2与xy2矛盾

所以假设错误

所以1y1x2至少有一个成立.

2和xy

2

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第二章第2节第2课时

反证法

四、学习体会

五、小试牛刀

1．否定下列命题的结论：

（1）

在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。（C、D组完成）

（2）

如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径） （C、D组完成）

（3）

在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （A、B组完成）

（4）

在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 （A、B组完成）

2．选择题：

证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D

。三角形中三个角都是直角或钝角

3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（ ）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

六、自我提高

1．“a

A．a≠b B．a>b C．a=b D．a=b或a>b 2．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（ ）

A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交

3．用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设 ．

4．用反证法证明“若│a│<2，则a<4”时，应假设 ．

5．已知证：

均为实数，且中至少有一个大于0.

，，，求

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