1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用教学目标设计

1.2

独立性检验的基本思想及其初步应用

一、【教学目标】

（一）知识与技能

1、结合生活中的实例了解分类变量的概念，了解列联表和等高条形图的特点。

2、理解独立性检验的基本思想，会根据K2的观测值k的大小判断两个分类变量有关的可信度。

（二）过程与方法

通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出的独立性检验问题，让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性；通过类比反证法原理，让学生加深对独立性检验原理的理解与应用。

（三）情感态度与价值观

通过学习，在解决实际问题中，让学生体验到了数学的生活化，激发学生热爱生活、热爱数学的兴趣，培养学生乐于探索、勇于发现的求知精神。

二、【教学重点】独立性检验基本思想的初步应用，利用独立性检验的基本思想解决实际问题

三、【教学难点】对独立性检验思想的理解

四、【教学过程】

【问题引入】

我们接触过的变量有哪些？

如身高、体重、考试成绩、温度等等. 这些变量的取值是什么？

它们的取值一定是实数，它们的取值大小有特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义.这样的变量都叫定量变量

【探究新知】

两个分类变量的相关关系的分析：

①通过图形直观判断两个分类变量是否相关；

②独立性检验. （P10探究）为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）：

吸烟与患肺癌列联表（列出两个分类变量的频数表）：

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

7775 2099 9874 患肺癌

42 49 91 总计

7817 2148 9965 那么吸烟是否对患肺癌有影响？

由列联表可以粗略估计出，在不吸烟者中，有0.54%患有肺癌；在吸烟者中，有2.28%

患有肺癌。因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.

与表格相比，图形更能直观反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征。

上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察这个问题. 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设：

H0：吸烟与患肺癌没有关系

将列联表中的数字用字母代替，得到如下字母表示的列联表

不吸烟

吸烟

总计

不患肺癌

a c a+c 患肺癌

b d b+d 总计

a+b c+d a+b+c+d 如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟者中相应的比例应差不多，

ac即：a(cd)c(ab)adbc0abcd

|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；

|ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)

（1）

2其中n=a+b+c+d为样本容量. 若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小. 由列联表中数据，利用公式（1）计算得K2的观测值为：

9965(777549422099)2k56.63278172148987491

思考：这个值到底能告诉我们什么？

2P(K6.635)0.01

（2）

在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：

也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值大于6.635的频率约为0.01，是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”

但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”. 独立性检验：

利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. 实际上是借助随机变量K2的观测值k，建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果k6.635，就判断H0不成立（即认为“吸烟与患肺癌有关系”）；否则就判断H0成立（即认为“吸烟与患肺癌没有关系”）. P(k6.635)0.01

把结论“H0成立”错判成“H0不成立”的概率不超过0.01 独立性检验的基本思想：

反证法原理

独立性检验原理

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断出H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率

类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度的判断：

（1）假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立. （2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理. （3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的观测值k≥6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%. 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：

x1

x2

总计

y1

a

c

a+c

y2

b

d

b+d

总计

a+b

c+d

a+b+c+d

利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度. 具体作法是：

（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

（2）利用公式(1)，计算随机变量K2的观测值k；

（3）如果k≥k0，就以1-P(K2≥k0)×100%的把握认为“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则就说样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.

临界值（课本P13

表1-11）

0.50

k0

0.40

0.5

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

0.445

0.708

1.323

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（1）如果k>10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；

（2）如果k>7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”；

（3）如果k>6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；

（4）如果k>5.024，就有97.5%的把握认为“X与Y有关系”；

（5）如果k>3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；

（6）如果k>2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；

（7）如果k<=2.706，就认为没有充分的证据显示“X与Y有关系”.

【应用举例】

例1、在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶。利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系？能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为秃顶与患心脏病有关系？

解：根据题目所给数据得到如下列联表1-12：

秃顶

不秃顶

总计

患心脏病

214

451

665

不患心脏病

175

597

772

总计

389

1048

1437

根据联表1-12中的数据，得到

1437(214597175451)2K16.3736.635.3891048665772

所以，在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为

“秃顶患心脏病有关”。

即有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。

2

【课堂总结】

1、分类变量

2、①列联表

②等高条形图

n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)，其中n=a+b+c+d为样本容量. ③随机变量23、独立性检验

①基本思想：利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验. ②具体作法是：

（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

（2）利用公式(1)，计算随机变量K2的观测值k；

（3）如果k≥k0，就以1-P(K2≥k0)×100%的把握认为“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则就说样本数据中没有发现足够证据支持结论“X与Y有关系”.

【作业】

P15

练习