三 反证法与放缩法优秀教案板书设计

三

反证法与放缩法

[学习目标]

1.理解反证法在证明不等式中的作用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.掌握放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．

[知识链接]

1．在阅读教材的基础上，想一想哪些命题或不等式适合用反证法证明？

答案

存在性命题、否定性命题、唯一性命题或结论中出现“至少”、“至多”、“全都”等字词的命题或不等式．

2．用放缩法证明不等式常用的放缩方法有哪些？

答案

①添加或舍去一些项；

②将分子或分母放大(或缩小)；

aa＋m③真分数的性质：若0＜a＜b，m＞0，则＜；

bb＋m④利用基本不等式；

⑤利用函数的单调性；

⑥绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 1⑦利用函数的有界性：如：|sin x|≤1(x∈R)；x2－x≥－(x∈R)；2x＞0(x∈R)．

4[预习导引]

1．反证法

先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质，明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．

2．放缩法

将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.

要点一

反证法证明不等式

例1

已知：a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0. 求证：a＞0，b＞0，c＞0. 证明

假设a、b、c不全是正数，

即至少有一个小于或等于0. 又abc＞0，不妨假设a＜0，则bc＜0. ∵b＋c＞－a＞0，∴－a(b＋c)＞0. ∴a(b＋c)＜0，又∵bc＜0，∴bc＋a(b＋c)＜0. 即ab＋bc＋ca＜0. 这与已知ab＋bc＋ca＞0矛盾．

∴假设不成立．

故a＞0，b＞0，c＞0成立．

规律方法

用反证法证明不等式，其实质是从否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立．

1＋y1＋x跟踪演练1

已知x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证与中至少有一个小于2. xy1＋y1＋x证明

假设≥2且≥2. xy∵x＞0，y＞0，∴1＋y≥2x①

1＋x≥2y②

①＋②得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，

即x＋y≤2，与x＋y＞2矛盾．

1＋y1＋x∴假设不成立，故与中至少有一个小于2. xy要点二

放缩法证明不等式

例2

设Sn＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1，

nn＋1n＋12求证：不等式＜Sn＜对所有的正整数n都成立．

22证明

∵Sn＞12＋22＋…＋n2

nn＋1＝1＋2＋…＋n＝. 21＋22＋3n＋n＋1且Sn＜＋＋…＋

2222n＋135＝＋＋…＋

2222n＋1n＋12135＜＋＋＋…＋＝

22222

nn＋1n＋12∴＜Sn＜. 22规律方法

用放缩法证明不等式的过程中，往往采用“添舍”放缩、分项放缩、函数的单调性放缩、重要不等式放缩等，放缩时要注意适度，否则不能同向传递．本例是利用n2＜n＋n＋1nn＋1＜放缩，进而求证．

2跟踪演练2

设f(x)＝x2－x＋14，且|x－a|＜1. 求证：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．

证明

由|f(x)－f(a)|＝|x2－a2＋a－x| ＝|(x－a)(x＋a－1)| ＝|x－a||x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1| ≤|x－a|＋|2a|＋1＜|2a|＋2＝2(|a|＋1).

要点三

放缩法在数列中的综合应用

例3

已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)．

(1)求数列{an}的通项；

n1a1a2ann(2)证明：－＜＋＋…＋＜(n∈N＋)．

23a2a3an＋12(1)解

∵an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列．

∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N＋)．

11－nn212－1an(2)证明

∵＝n＋1＝＜，

12an＋12－12－n2a1a2ann∴＋＋…＋＜. a2a3an＋122k－11ak1∵＝k＋1＝－k＋1

ak＋12－1222－111＝－k

23·2＋2k－2111k，k＝1,2,3，…，n. ≥－232a1a2a3an∴＋＋＋…＋

a2a3a4an＋1n111n1k＞－. ≥－＋233223n1a1a2ann∴－＜＋＋…＋＜(n∈N＋)．

23a2a3an＋12规律方法

解数列不等式综合题要注意

①数列不等式综合题难度大，内容丰富，是考查数学能力的良好载体；

②数列问题重点在数列通项上，解决问题的方法也蕴含在其中，注意考察的方式；

③注意放缩的尺度，过大过小都不能解决问题．

2n－1135跟踪演练3

求证：＋＋＋…＋n＜3(n∈N＋)．

24822n－1135证明

设S＝＋＋＋…＋n，

24822n－111135将等式两边乘以得，S＝＋＋＋…＋n＋1. 224816211112n－112n＋311＋＋＋…＋n－n＋1＝＋1－n＋1. 将两式相减得，S＝＋222224816222n＋32n＋3∴S＝3－n，又n＞0，

222n－1135∴S＜3，即＋＋＋…＋n＜3(n∈N＋). 2482

1．实数a，b，c不全为0等价于(

) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 答案

D 解析

a，b，c不全为0，等价于“a，b，c中至少有一个不为0”．

abcd2．已知a，b，c，d都是正数，S＝＋＋＋，则有(

) a＋b＋ca＋b＋dc＋d＋ac＋d＋bA．S＜1

B．S＞1 C．S＞2

D．以上都不对

答案

B abcd解析

S＞＋＋＋＝1. a＋b＋c＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋da＋b＋c＋d3．否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为(

) A．a、b、c都是奇数

B．a、b、c都是偶数

C．a、b、c中至少有两个偶数

D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数

答案

D 解析

三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、二奇一偶”4种，而自然数a、b、

c中恰有一个为偶数只包含“二奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合．

1114．求证：1＋2＋2＋…＋2＜2(n∈N＋)．

23n111111证明

1＋2＋2＋…＋2＜1＋＋＋…＋

23n1·22·3nn－111111－

1－＋－＋…＋＝1＋223n－1n1＝2－＜2. n

(1)当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体．

(2)用反证法证明不等式时，推出的矛盾有三种表现形式①与已知相矛盾，②与假设矛盾，③与显然成立的事实相矛盾．

(3)放缩法常用结论有：

122①＝＞＝2(k＋1－k)，

kk＋kk＋k＋1122＝＜＝2(k－k－1)(k∈N＋，k＞1)；

kk＋kk＋k－111111111②2＜＝－；2＞＝－(程度大)；

kkk－1k－1kkkk＋1kk＋1111111③2＜2＝＝k－1－k＋1(程度小)．

kk－1k－1k＋12