2.基本不等式教学设计范文

基本不等式

一、

教学目标：

知识与技能：（1）

进一步理解和掌握基本不等式的证明过程及几何意义；

（2）

熟练利用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 过程与方法：通过用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，让学生掌握用基本不等式求最值的方法，在前面学习的基础上，进一步拓展求最值的方法. 情感、态度价值观：通过本节的学习，让学生进一步理解和体会数学来源于生活、应用于生活，提高学习数学的兴趣. 二、重 点：对基本不等式的理解与掌握

三、难 点：熟练利用基本不等式求最值

四、教学方法：启发、类比、演示。

五、学法：讨论、归纳、练习 六、

教学过程：

（一）、复习基本知识：

1．重要不等式

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

2．基本不等式

(1)如果a，b都是非负数，那么a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

(2)我们称a＋b2≥ab为基本不等式，其中a＋b2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．

因此基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．基本不等式的常用推论

(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；

(2)ba＋ab≥2(a，b同号)；

(3)当ab>0时，ba＋ab≥2；当ab<0时，ba＋ab≤－2；

(4)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．

※特别要注意的是，等号成立的条件. （二）、典型题剖析

例题1：（1）已知x,yR，x2y1，求的最小值；

（2）已知x,yR，x2y3，求的最小值；

（3）已知x,yR，2，求6x2y的最小值；

（4）已知x,yR，x2yxy，求x2y的最小值；

【解析】这四个题目中，（1）是“1的替换”的最基础题目，已知整式的值为1，求分式的最小值，（2）是将已知值变成了3，需要调节系数，（3）是已知分式的值求整式的最值，（4）对分式进行等价变换。

【答案】（1）(x2y)()1 当且仅当1x2y131x2y1x2y2x2y45249

yx3x2y1x2y1x2y12x2y即xy时取等号

3yx（2）(x2y)()（1 当且仅当1x2y132x2y14）（524）3

yx312x2y即xy时取等号

3yx（3）6x2y=()(6x2y)9132x2y3y6x21862

xy

当且仅当6x3y32+2即2xy时取等号

yx21y2x1y2xxy4y48

x（4）因为x2yxy，所以1，然后x2y=(x+2y)(+)= 当且仅当xy4y即x2y4时取等号

x12的最小值；

x1y3例题2：（1）已知x,yR，xy1，求x2y2 （2）已知x,yR，xy1，求的最小值；

x1y1 （3）已知x,yR，xy1，求12的最小值；

2xyy312的最小值；

xyy3 （4）已知x,yR，2x3y1，求【解析】这四个题目是便是比较大的四个题目：（1）是分式的分母分别加上一个常数，为了能够使用基本不等式，我们需要对整式也进行相应的变形；（2）在上一题的基础上，是分式的分子分母不再是一个常数而是二次项，需要分离出一个代数式，变成熟悉的形式；（3）在（1）的情况下分母进一步变化，不是加一个常数，而是混搭的形式；（4）在上一题的基础之上不再是直接观察出结果，而是需要配凑一个系数。

【答案】

（1）整式变形成x1y13，

121121y32(x1)22

(x1y3)()(12)1x1y35x1y33x1y33当且仅当y32(x1)=取等号

x1y3x2y2(x1)22(x1)1(y1)22(y1)111（2）

x12y12x1y1x1y1x1y1

111

x1y111的最小值

x1y112最小值

2xyy3然后求当xy1时，代数式（3）整式变形成2xyy35，求代数式（4）假设分式变形为(xy)2的形式，保证x的系数与y的系数之比等(y3)于整式中的系数之比，即222=，=2，1,=2，分式变形为

+32x2yy322的最小值。

2x2yy31x2x的最小值；

y整式变形为2x2yy34，然后求例3：（1）已知x,yR，xy1，求 （2）已知x0,1，，求12的最小值；

x1x【解析】这两个题目的变式又不同于之前的形式，（1）主要是分式的一个分子的系数不是一个常数，而是2x的形式，因为比较接近我们使用基本不等式的形y式，所以对另一个分子替换；（2）中好像是缺了整式，但仔细观察不难发现，其实分母之和为定值。

【解析】

（1）1x2xxy2xy2x2xy1122当且仅当时取等号

yxyxyyx12的最小值

x1x（2）因为x(1x)1，然后求小结引导：此类题目主要特点是：1、两个变量是正实数（使用基本不等式的前提），2、有一个代数式的值已知，求另一个代数式的最小值，其中两个代数式一个是整式

，一个是分式

，当然会在此基础上进行变形。

解题方法荟萃：主要是凑出可以使用基本不等式的形式，多数情况下是让两个

代数式相乘。

（三）、达标与拓展

1．若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是（

）

A．2428

B．

C．5

D．6

55【解析】正数x，y满足x3y5xy，

311，

5x5y319412y3x1312y3x3x4y3x4y25，

5x5y555x5y53x5y当且仅当12y3x时取等号

5x5y即3x4y的最小值是5

【答案】C. 2. 已知x,y均为正实数，且x3y2，则2xy的最小值为 ．

xy【解析】试题分析：2xy121(x3y)()xyxy273y2x3y2x72xy7xy6，

2222xx3y2612xy76．

当且仅当即时，等号成立，即的最小值是3y2x2xyxy22y323

b0，若3. 设a0，11的最小值为（ ）

abA．8 B．4 C．1 D．1

43是3a与3b的等比中项，则【【解析】因为3是3a与3b的等比中项，所以ab1

1111aba()(ab)2224babba【答案】B．

（四）、小结：

利用基本不等式求最值的基本步骤是什么？需要注意哪些事项？

一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值，凑和为常数，要注意定理及变形的应用，特别需要注意等号成立的条件。

[呈重点、现规律] 用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．

(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．

（五）、巩固作业：

1．已知a0,b0,ab1,则

【解析】令abx（2ab)y（a3b)，解得x，y

1111212ab(a3b)2aba3b552aba3b

251511的最小值是__________. 2aba3b3a3b22ab3a3b2(2ab)2552ab（5a3b）55(2ab)5(a3b)

3225

当a3b22ab即a3b2(2ab)取等号.

52ab（5a3b）2. 已知实数x，y满足4x2y23xy1，则2xy的最大值为 ．

【解析】实数x，y满足4x2y23xy1，

4x2y24xy1xy，

112xy2xy12xy1222，

22解关于2xy的不等式可得2xy故答案为：214．

7214，

73. 已知a0，b0，a2b1，则11取到最小值为 ．

3a4ba3b【解析】试题分析：令a2b(3a4b)(a3b)(3)a(43)b，∴1315，

43225∴111112312(a3b)3a4b()[(3a4b)(a3b)][]

3a4ba3b3a4ba3b55553a4ba3ba2b1322(a3b)3a4b322，当且仅当2(a3b)3a4b时，等号成立，

553a4ba3b53a4ba3b即

11322的最小值是．

3a4ba3b54.已知正数x,y满足xy1,则M【解析】M(则M11的最小值为 1x12y11)[(1x)(12y)]4

1x12y11114，令t2x2y，即yxt1，

xyx(xt1)1恒成立，22222x2y由0得222t222，M44222

2x2y222

5. 若正数x,y,z满足3x4y5z6，则【解析】14y2z的最小值为 . 2yzxz14y2z163(xz)16=3

2yzxz2yzxz2yzxza3b2令2yza,xzb，则2(2yz)3(xz)3x4y5z2a3b6，即1，

原式=()()31x1aba63b213b2a7

2ab36.已知x0，y0，且1，若2xym恒成立，则实数m的取值范围是 ，当m取到最大值时x . 【解析】恒成立问题，求2xy的最小值，即为“1的替换”

8，2；

答案为：，2y7. 在边长为1的正三角形ABC中，ADxAB，AEyAC，(x0，y0)且1，则CDBE的最小值等于 . 3x4y【解析】这是结合向量来解的一个题目，CDBE的最小值为1126. 2