2.基本不等式全国优秀课堂实录

课题：

基本不等式及其应用

课程类型

课时安排

新授课

第一课时（共2课时）

理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值；考情考向分析

常与函数、解析几何相结合考察，加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识.作为求最值的方法，常在函数、解析几何的解答题中考察，难度中档. 学情分析

教学重点

教学难点

高三学生具备了一定的感知能力，概括能力，逻辑推理能力，但比较复杂的举一反三的灵活变通、综合能力还有待提高. 准确利用基本不等式求最值

基本不等式的变形应用

1.通过知识梳理，使学生了解基本不等式的证明过程及其几何解释，理解基本不等式成立的条件；

2.经历例题及变式的解决，感悟基本不等式求最值问题的解题教学目标

策略的构建过程；

3.能够灵活运用基本不等式及其变形求最值，感受基本不等式求最值的的简便灵巧及其局限性；

4.培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学态度，体验生命成长的快乐；

以启发引导，探索发现为主导，讲解练习为主线，用一题教法、学法

多解，一题多变突出重点、突破难点，提高分析问题解决问题的能力，培养创新能力. 教学手段

活动

步骤

多媒体展示，板书展示，师生合作

教学过程

教

师

活

动

学

生

活

动

设

计

意

图

认真阅读使学生有目展示最新考纲要求，教学目标，分析高考对考纲及学明确的学标

展基本不等式的要求

习目标，定习目标，便示

位自己的于检测是

1

学习任务

否完成目标要求.

提问：还记得基本不等式的内容吗？

1.给出基本不等式的内容；

ab≤a+b(a>0 ，

b>0)

21.通过知识梳理，使学生明确学习内容，1.学生回对知识有答基本不一定的结等式的内构认识；

当且仅当a=b时，等号成立. （强调基本不等式的成立条件）

提问：你能证明基本不等式吗？

【提示】

重要不等式：a+b≥2ab(a

，

b?R)

2.数形结合，证明基本不等式：

b总有(a-b)≥0成对于任意两实数a

，22a+b立，则：a+b≥2ab恒成立，即≥ab22222容

2. 使学生2.了解基亲身经历2本不等式将感性认的证明过识逐渐上程

升为理性认识的过程，更能有益于学生的迅速接受和思维的发展. 3.体验数形结合思想的应用，加强学生应用数学思想的能力，培养学生转化与全面思维3.理解基要恒成立. 点

b替换上式的a2

，

b2，则有本不等式用a

，梳的原理,基理

ab≤a+b(a>0 ，

b>0)

2本不等式几何解释：

成立的条如图，圆O的直径为D

件及应用AB,C为AB上任意一点，设O

A B

基本不等C

AC=a

，

BC=b，

式求最值E

在Rt△ABD中，有射影定的条件

理：CD2=ACBC=ab，

由于CD≤OD

所以有CD=ab≤OD=a+b；（教师提示，学2生主讲）

（解释：两非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；圆的半径不小于弦长的一半；两正数

2

的等差中项不小于它们的等比中项）

基本不等式的常用变形：

ab≤(a+b)2(a

，

b>0)

2能力，帮助学生更多形成对事物的理性认识. a+b≥2ab(a，

b>0)

3.基本不等式的运用：

基本不等式成立的条件：一正、二定、三相等. 一正：两变量均为正数；（注意：a2+b2≥2ab成

b为任意实数）

立，a

，二定：两变量的和、积或者平方和是定值；

三相等：等号成立条件是：当且仅当a=b. （1）已知x

，

y>0，则若积xy为定值p，则和有最小值2p；（积定和最小）

y>0，则若和x+y为定值p，则（2）已知x

，p2积有最大值；（和定积最大）

4基础自测：

1.思考辨析：

（1）函数

y=x+1的最小值为2.（）

x（2）若a>0，则a3+12的最小值为2a.（）

a

1.一题多1.探究思考解决问题的方法，并及时总用，一题多变，能唤起学生的好奇心和求知欲，能够1π（3）函数

y=cosx+(0

精参与学习结构体系. 析

可见，基本不等式运用必须满足条件

的动力，保

n?R ，

m2n2=100，2.已知m

，则mn的最大值2.积极动持其参与脑，动手，为_______. 教学活动

y>0，且x+y=4，则xy的最大值完成相应3.设x>0 ，的兴趣和的训练. 为_______.（消元变为二次函数，或消元用基本热情. 不等式）

2.在“变”

3

4.设x>0 ，

y>0，且xy=16，则x+y的最小值为_______. 利用基本不等式求最值：

例1：设0

变式：设02)的最小值. x-2我们发现，没有基本不等式可以构造基本不等式

2x变式：求函数y=-2x+4(x>2)的最小值. x-2变式：求函数y=x-2(x>2)的最大值. 2x-2x+4事实上，分式函数本身就可看做是通分运算的结果

b>0，且a+b=1，求1+1

例3：已知a>0 ，ab的最小值.（多种方法展示，比较不同:基本不等式串的使用；1的代入；通分；直接用基本不等

式【多次使用基本不等式注意等号成立条件】）（事实上有些方法有着一定的局限性，例如：）

b>0，且a+b=2，求1+4

变式：已知a>0 ，ab的最小值.（构造积定的形式，即代数代换更加

简单通用）

b>0，且1+9=1，求a+b的变式：已知a>0 ，ab最小值.

y满足3x+y=5xy，则跟踪训练：若正数x

，4x+3y的最小值为_____. 注意：多次使用基本不等式，等号成立的条件必

4

须一致。

1.小结旨在对本节课新知进行回忆与巩固，同时也为学***较低学生提供了再次学方法：利用基本不等式求最值方法：配凑法、代数代换法. 思想：数形结合、分类讨论、转化化归思想. 习理解的机会，基本达到保证大部分学课（1）利用基本不等式求最值时，应注意基本不学生主动生学生效堂等式成立的条件；

小归纳总结

果的目的. 尽量避免多次使用基本不等式，多次使用结

注意：2.主要由基本不等式时，应注意等号成立条件一致. 学生完成（2）无法利用基本不等式求最值时，可借助于归纳总结，函数性质或者求导，确定最值. 可以帮助教师及时发现学生问题、及时给予纠正问题.培养学生自主归纳概括、交流合作的能力.

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旨在将课堂学到的理论知识进一步内作业布置课堂作业：课堂练习21 布置

化为学生解决问题的能力，更好地帮助学生加深印象.

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板书设计

基本不等式及其应用

1.基本不等式： 例题解析： ab≤a+b(a>0 ，

b>0)

2当且仅当a=b时，等号成立。

2.重要不等式：

a2+b2≥2ab(a

，

b?R)

3.基本不等式的变形：

ab≤(a+b)2(a

，

bÎR)

2a+b≥2ab(a，

b?R)

x+1≥2(x>0)

xa+b≥2（a

，

b同号）

ba

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