1.不等式的基本性质教学实录

课

题：不等式的基本性质

教学目标：

1.掌握作差比较大小的方法，并能证明一些不等式。

1.

掌握不等式的性质，掌握它们的证明方法及其功能，能简单运用。

2.

提高逻辑推理和分类讨论的能力；培养条理思维的习惯和认真严谨的学习态度。

教学重点：作差比较大小的方法；不等式的性质。

教学难点：不等式的性质的运用

教学过程：

第1课时：

问题情境：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？

分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。

研究比较大小的依据：

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的。在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大。

在右图中，点A表示实数a，点B表示实数b，点A在点B右边，那么a＞b。

而a－b表示a减去b所得的差，由于a＞b，则差是一个正数，即a－b＞0。

命题：“若a＞b，则a－b＞0”成立；逆命题“若a－b＞0，则a＞b”也正确。

类似地：若a＜b，则a－b＜0；若a＝b，则a－b＝0。逆命题也都正确。

结论：(1)“a＞b”⇔“a－b＞0”

(2)“a＝b”⇔“a－b＝0”

(3)“a＜b”⇔“a－b＜0”——以上三条即为比较大小的依据：“作差比较法”。

正负数运算性质：(1) 正数加正数是正数；(2) 正数乘正数是正数；(3) 正数乘负数是负数；(4) 负数乘负数是正数。

研究不等式的性质：

性质1：若a＞b，b＞c，则a＞c

(不等式的传递性) 证明：∵a＞b

∴a－b＞0 ∵b＞c

∴b－c＞0 ∴(a－b)＋(b－c)＝a－c＞0

(正负数运算性质) 则a＞c 反思：证明要求步步有据。

性质2：若a＞b，则a＋c＞b＋c

(不等式的加法性质)

B A x

证明：∵a＞b

∴a－b＞0 ∵(a＋c)－(b＋c)＝a－b＞0

∴a＋c＞b＋c 反思：作差比较法的第一次运用，虽然简单，也要让学生好好体会体会。

思考：逆命题“若a＋c＞b＋c，则a＞b”成立吗？——两边加“－c”即可证明。

[例1] 求证：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d

(同向不等式相加性质) 证明1：∵a＞b

∴a＋c＞b＋c (性质2) ∵c＞d

∴b＋c＞b＋d

则a＋c＞b＋d

证明2：∵a＞b

∴a－b＞0 ∵c＞d

∴c－d＞0 ∴(a－b)＋(c－d)＞0

即(a＋c)－(b＋d)＞0

(作差比较法) 则a＋c＞b＋d 反思：你更喜欢哪种方法？为什么？(精彩回答：我都喜欢，如同自己的一对双胞胎。)

练习：求证：若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d

(异向不等式相减性质) ——作业

证明1：∵c＜d

∴c－d＜0 得d－c＞0 即－c＞－d

(正数得相反数为负数) 亦可由c＜d两边同加－(c＋d)，直接推出－c＞－d (性质2) ∵a＞b

∴a＋(－c)＞b＋(－d) (同向不等式相加性质) 则a－c＞b－d

(加减法运算法则) 证明2：∵a＞b

∴a－b＞0

∵c＜d

∴d－c＞0

∴(a－c)－(b－d)＝(a－b)＋(d－c)＞0

(作差比较法) 则a－c＞b－d

性质3：若a＞b，c＞0，则ac＞bc 若a＞b，c＜0，则ac＜bc

(不等式的乘法性质) 证明：ac－bc＝(a－b)c

(作差比较法) ∵a＞b

∴a－b＞0 (1)

当c＞0时，(a－b)c＞0，得ac＞bc

(正负数运算性质) (2)

当c＜0时，(a－b)c＜0，得ac＜bc

(正负数运算性质) 反思：等式两边同乘一个数，等式永远成立。但不等式的情况完全不同！——强调！

思考：(1)“若a＞b，则ac2＞bc2”成立吗？——不成立！反例：c＝0时不成立。

(2)“若ac2＞bc2，则a＞b”成立吗？——成立！隐含c2＞0。

练习：(1)《教材》P.30-练习2.1(1)-1 (学生口答，教师点评) (2)《教材》P.30-练习2.1(1)-2、3 (学生板书，教师点评)

(性质2) (性质1)

2、求证：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd

(同向不等式相乘性质)

证明：∵a＞b，c＞0

∴ac＞bc ∵c＞d，b＞0

∴bc＞bd

则ac＞bd

(性质3) (性质3) (性质1) 特例：当a＝c且b＝d时，有“若a＞b＞0，则a2＞b2”

推而广之：若a＞b＞0，则an＞bn (n∈N*)

(不等式的乘方性质)

推而广之：若a＞b＞0，则na＞nb

(n∈N*，n＞1)

(不等式的开方性质) ——可用反证法进行证明。

113、求证：若a＞b＞0，则0＜＜

(不等式的倒数性质)

——作业

ab11证明：∵a＞b＞0

∴＞0，＞0，a－b＞0 ab1a－b111∴－＝＞0

(正负数运算性质)

则0＜＜

aababb

[例2]比较(a＋1)2与a2－a＋1的值的大小。

解：(a＋1)2－(a2－a＋1)＝3a (1)当a＜0时，(a＋1)2＜a2－a＋1 (2)当a＝0时，(a＋1)2＝a2－a＋1 (3)当a＞0时，(a＋1)2＞a2－a＋1 反思：(1)比较大小时，等与不等一定要分开讨论！——强调！

(2)分类讨论时，要做到“不遗漏，不重复”！——强调！

[例3]解关于x的不等式m(x＋2)＞x＋m。

解：(m－1) x＞－m (1)当m＝1时，x∈R m；

m－1m(3)当m＞1时，x＞－

m－1反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m－1值的不确定性

(2)当m＜1时，x＜－(2) 如何进行讨论？——不等式性质

课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31) (2) 数学方法：作差比较法

(3) 数学思想：分类讨论

第1课时作业：《练习册》P.13-习题2.1-A、B组(做在练习册上)

第2课时：

讲评作业或者做《教材》P.30-练习2.1(2)-1 (学生口答，教师点评) [例1] 解关于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2。

解：(1) m2－4＝0即m＝－2或m＝2 ①当m＝－2时，x∈

②当m＝2时，x∈R (2) m2－4＞0即m＜－2或m＞2时，x＜(3) m2－4＜0即－2＜m＜2时，x＞1

m－21

m－2反思：(1) 引起讨论的原因是什么？——m2－4值的不确定性

(2) 如何进行讨论？——不等式性质

[例2] 若m＞0，y＞x＞0，试比较解：x＋mx与的大小。

y＋myx＋mx(x＋m)y－(y＋m)xm(y－x)－＝＝

y＋m(y＋m)y(y＋m)yy∵y＞x ∴y－x＞0 ∵y＞0，m＞0 ∴y＋m＞0 又∵y＞0，m＞0

∴

引申：若a、b、c、d均为正数，且证明1：(作差比较法) ∵m(y－x)x＋mx＞0

则＞

(y＋m)yy＋mya＋cacac＜，求证：＜＜

b＋dbdbda＋cabc－ad－＝

b＋db(b＋d)ba＋cacabc－ad＜，b＞0，d＞0

∴bc＞ad

得＞0

则＞

b＋dbdb(b＋d)ba＋cc＜

b＋dda＋ca＜



a(b＋d)＜b(a＋c) b＋db同理可证：证明2：(变更论证法) ∵b＞0，b＋d＞0

∴a(b＋d)－b(a＋c)＝ad－bc ∵则

ac＜，b＞0，d＞0

∴ad＜bc

得a(b＋d)＜b(a＋c) bda＋ca＋cac＜

同理可证：＜

b＋db＋dbd

[例3] 若x＞0，试比较x＋x＋3与x＋1＋x＋2的大小。

分析：直接作差显然不可取。可考虑去根号，利用不等式的乘方、开方性质。

2解：(x＋x＋3)2＝2x＋3＋2x2＋3x，(x＋1＋x＋2)＝2x＋3＋2x2＋3x＋1

∵x2＋3x＜x2＋3x＋1

∴2x＋3＋2x2＋3x＜2x＋3＋2x2＋3x＋1

2得(x＋x＋3)2＜(x＋1＋x＋2)

则x＋x＋3＜x＋1＋x＋2

反思：“分析法”是寻找解题思路的常用方法。

[例4] 甲、乙两人连续两天去市场买青菜。甲每次买青菜的数量不变，乙每次买青菜的费用不变。问甲、乙两人谁购买的方法比较合算？

分析：何为合算？——平均单价便宜。

解：设第一天青菜单价a元/斤，第一天青菜单价b元/斤。

设甲每次买青菜x斤，乙每次买青菜花费y元，

∴甲平均单价为ax＋bxa＋b2ab＝，乙平均单价为2y＝

2x2a＋byy＋aba＋b2ab(a－b)2∵－＝

2a＋b2(a＋b)∴(1) a＝b时，a＋b2aba＋b2ab＝；(2) a≠b时，＞

2a＋b2a＋b由(1)(2)可知：乙购买的方法比较合算。

[例5] (第1课时的引例) 现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B容器的底面积为a2，高分别为a、b，C、D容器的底面积为b2，高分别为a、b，其中a≠b。甲先从四个容器中取两个容器盛水，乙用剩下的两个容器盛水。问如果你是甲，是否一定能保证两个容器所盛水比乙的多？

分析：依题意可知：A、B、C、D四个容器的容积分别为a3、a2b、ab2、b3，甲有6种取法。问题可以转化为比较容器两两和的大小。

解：(1)取A、B：(a3＋a2b)－(ab2＋b3)＝(a＋b)2(a－b) 无法确定大小

(2)取A、C：(a3＋ab2)－(a2b＋b3)＝(a2＋b2) (a－b) 无法确定大小

(3)取A、D：(a3＋b3)－(ab2＋a2b)＝(a＋b) (a－b)2

由于a≠b，则(a＋b) (a－b)2＞0，即a3＋b3＞ab2＋a2b ——

先取A、D则必胜！

能否推广？——

观察a3＋b3＞ab2＋a2b的特征，进行猜测。

a4＋b4＞ab3＋a3b，a4＋b4＞a2b2＋a2b2

a5＋b5＞ab4＋a4b，a5＋b5＞a2b3＋a3b2

……

更为一般性的结论：a、b∈R，m、n∈N*，则a m+n＋bm+n≥ambn＋anbm

证明：(a mn＋b mn)－(ambn＋anbm)＝(am－bm)(an－bn)≥0

＋＋

课堂小结：(1) 数学知识：8条不等式性质(教材P.31) (2) 数学方法：作差比较法、分析法、变更论证

(3) 数学思想：分类讨论、类比猜想证明

作业：P.35-1～10、P.36-1～6、9、10 (做在书上) 选做：P.35-11(1)、P.36-11 (做在书上)