1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用国家获奖教案

1.2独立性检验的基本思想及其初步应用

(教师用书独具)

●三维目标

1．知识与技能

了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用．会从列联表(只要求2×2列联表)、柱形图、条形图直观分析两个分类变量是否有关．会用K公式判断两个分类变量在某种可信程度上的相关性．

2．过程与方法

运用数形结合的方法，借助对典型案例的探究，来了解独立性检验的基本思想，总结独立性检验的基本步骤．

3．情感、态度与价值观

(1)通过本节课的学习，让学生感受数学与现实生活的联系，休会独立性检验的基本思想在解决日常生活问题中的作用．(2)培养学生运用所学知识，依据独立性检验的思想作出合理推断的实事求是的好习惯．

●重点难点

重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤．

难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K的含义．

分别利用2×2列联表、等高条形图、K公式分析两变量之间的关系，探究解题方法和规律，充分理解观测值k的意义，能熟练正确地对问题作出判断，达到化难为易的目的．

222

1

(教师用书独具)

●教学建议 通过对典型案例“吸烟是否对患肺癌有影响？”的提出，联系生活，引起共鸣，激发学生的学习兴趣．从生活的实例出发，让学生充分体会数学与实际生活的联系，从而使得本节知识的形成更自然、更生动．要注重学生的主体参与，努力创设教师引导下的学生自主探究、合作交流的学习方式．建议在教学过程中，教师点拨、学生探讨，共同完成例题的解答．要注重数学的思想性，采用反证法做类比，帮助学生理解独立性检验的思想，通过课堂练习，检验学生能否熟练掌握用独立性检验思想解决实际问题的方法．

●教学流程

通过典型案例“吸烟是否与患肺癌有关系”的研究，介绍了独立性检验的基本思想、方法和初步应用．创设问题情境引出列联表、等高条形图和K公式等基础知识．2利用填一填的形式，使学生自主学习本节基础知识，并反馈了解，对理解有困难的概念加以讲解．引导学生在学习基础知识的基础上分析解决例题1的问题，并总结规律方法，完成变式训练．引导学生分析例题2，根据图中的数据计算出各类变量对应的频率，作出等宽且高度均为1的条形图．并通过图形作出判断，完成变式训练．

完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法，并进行反馈矫正．小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．归纳整理，进行课堂要求学生借鉴例题3的解法引导学完成变式训练．给出易错辨析题目及错解，让学生讨论错因，并给出正确解答．生探究例题3的解法，(1)直接由表中数据代入公式，作出判断．(2)列出列联表，由公式计算观测值，作出判断．解后让学生总结规律方法.

1.了解独立性检验的基本思想、方法及其简单应用．(重点) 课标解读

2．通过收集数据，并依据独立性检验的原理作出合理推断，培养学生良好的思维习惯．(难点)

2

【问题导思】

吸烟变量有几种类别？国籍变量呢？

分类变量与列联表

【提示】

吸烟变量有吸烟与不吸烟两种类别，而国籍变量则有多种类别，如中国、美国、法国…….

1．分类变量

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．

2．列联表

(1)定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

(2)2×2列联表：一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

2×2列联表

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

【问题导思】

等高条形图

表格和图形哪一个更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响？

【提示】

图形．

(1)定义：将列联表中的数据用高度相同的两个条形图表示出来，其中两列的数据分别对应不同的颜色，这就是等高条形图．

(2)特征：等高条形图与表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．

(3)用法：观察等高条形图发现

aa＋bc＋d和c相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．

2独立性检验

(1)定义：利用随机变量K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)公式：K＝量2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容.

3

用2×2列联表分析两变量间的关系

在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用aa＋bc＋d与c判断二者是否有关系．

【思路探究】

对变量进行分类→求出分类变量的不同取值→作出2×2列联表→计算aa＋bc＋d与c的值作出判断

【自主解答】

2×2列联表如下：

饮食以蔬菜为主

饮食以肉类为主

总计

将表中数据代入公式得

43＝＝0.671 875. a＋b6427＝＝0.45. c＋d60显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．

1．作2×2列联表时，注意应该是4行4列，计算时要准确无误．

2．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．

题中条件不变，尝试用|ad－bc|的大小判断饮食习惯与年龄是否有关．

【解】

将本例2×2列联表中的数据代入可得

|ad－bc|＝|43×33－21×27|＝852.

4 年龄在六

十岁以上

43

27

70

年龄在六

十岁以下

21

33

54

总计

64 60 124 ac

相差较大，可在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系.

用等高条形图分析两变量间的关系

某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类别是否有关系．

【思路探究】

作出2×2列联表―→根据列联表数据

作等高条形图―→对比乘积的差距判断两

个分类变量是否有关

【自主解答】

作列联表如下：

考前心情紧张

考前心情不紧张

总计

相应的等高条形图如图所示：

性格内向

332

94

426

性格外向

213

381

594

总计

545 475 1 020

图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例．从图中可以看出，考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．

1．利用列联表中数据计算出各类变量取值对应频率，作出等宽度且高度均为1的等高条形图．

2．利用数形结合的思想，借助等高条形图来判断两个分类变量是否相关是判断变量相关的常见方法之一．一般地，在等高条形图中，aa＋bc＋d与c相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大．作等高条形图时可以用列联表来寻找相关数据，作图要精确，且易于观察，使对结论的判断不出现偏差．

5

某生产线上，质量监督员甲在生产现场时，990件产品中有合格品982件，次品8件；不在生产现场时，510件产品中有合格品493件，次品17件．试利用图形判断监督员甲在不在生产现场对产品质量好坏有无影响．

【解】

根据题目所给数据得如下2×2列联表：

甲在生产现场

甲不在生产现场

总计

相应的等高条形图如图所示．

合格品数

982

493

1 475

次品数

8

17

25

总计

990 510 1 500

图中两个深色条的高分别表示甲在生产现场和甲不在生产现场样本中次品数的频率．从图中可以看出，甲不在生产现场样本中次品数的频率明显高于甲在生产现场样本中次品数的频率．因此可以认为质量监督员甲在不在生产现场与产品质量好坏有关系.

独立性检验

下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：

干净水

不干净水

总计

得病

52

94

146

不得病

466

218

684

总计

518 312 830 (1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；

(2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．

【思路探究】

求出k的值―→与临界值作比较―→作出判断．

【自主解答】

(1)假设H0：传染病与饮用水无关．把表中数据代入公式得：

2K的观测值k＝2－146×684×518×31222≈54.21.

在H0成立的情况下，P(K>10.828)≈0.001，是小概率事件，

所以拒绝H0.

6

因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关．

(2)依题意得2×2列联表：

干净水

不干净水

总计

此时，K的观测值k＝22得病

5

9

14

不得病

50

22

72

2总计

55 31 86 －14×72×55×31≈5.785.

因为5.785>5.024，P(K>5.024)≈0.025，

所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．

两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有97.5%的把握肯定．

解决一般的独立性检验问题的步骤：

(1)通过列联表确定a、b、c、d、n的值，根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

(2)利用K＝2a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d求出K的观测值k；

2(3)如果k≥k0，就推断“两个分类变量有关系”，这种推断犯错误的概率不超过α；否则就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“两个分类变量有关系”．

某社区医疗服务部门为了考察人的高血压病是否与食盐摄入量有关，对该社区的1 633人进行了跟踪测查，得出以下数据：

喜欢较咸食物

喜欢清淡食物

合计

患高血压

34

26

60

未患高血压

220

1 353

1 573

合计

254 1 379 1 633 问能否判断在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为患高血压与食盐摄入量有关？

【解】

提出假设H0：该社区患有高血压病与食盐的摄入量无关．

由公式计算K的观测值为

2k＝1 353－60×1 573×254×1 3792≈80.155.

因为80.155＞10.828，

7

因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下，我们认为该社区患有高血压病与食盐的摄入量关有.

因未理解P(K≥k0)的含义而致误

某小学在对232名小学生调查中发现：180名男生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验方法判断多动症与性别是否有关系？

【错解】

由题目数据列出如下列联表：

2

男生

女生

总计

多动症

98

2

100

2无多动症

82

50

132

总计

180 52 232 k＝－100×132×180×52≈42.117>10.828.

所以有0.1%的把握认为多动症与性别有关系．

【错因分析】

应该是有(1－P(K≥10.828))×100%＝(1－0.001)×100%的把握，而不是P(K≥10.828)×100%＝0.001×100%的把握．

【防范措施】

本题的错误之处在于不能正确理解独立性检验步骤的含义，当计算的22K2的观测值k大于临界值k0时，就可推断在犯错误的概率不超过α的前提下说两分类变量有关系．这一点需牢记，才能避免类似错误．

【正解】

由题目数据列出如下列联表：

男生

女生

总计

由表中数据可得到：

多动症

98

2

100

无多动症

82

50

132

总计

180 52 232 k＝－100×132×180×522≈42.117>10.828.

所以有99.9%的把握认为多动症与性别有关系．

8

1．列联表与等高条形图

列联表由两个分类变量之间频率大小差异说明这两个变量之间是否有关联关系，而利用等高条形图能形象直观地反映它们之间的差异，进而推断它们之间是否具有关联关系．

2．对独立性检验思想的理解

独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法．先假设“两个分类变量没有关系”成立，计算随机变量K的值，如果K值很大，说明假设不合理．K越大，两个分类变量有关系的可大能性越.222

1．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是(

) A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌

B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌

C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人

D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有

【解析】

独立性检验的结果与实际问题有差异，即独立性检验的结论是一个数学统计量，它与实际问题中的确定性存在差异．

【答案】

D

9

2．(2013·威海高二检测)分类变量X和Y的列联表如下，则(

)

x1

x2

总计

y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

A.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱

B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强

C．(ad－bc)越大，说明X与Y的关系越强

D．(ad－bc)越接近于0，说明X与Y的关系越强

【解析】

由K的计算公式可知，(ad－bc)越大，则K越大，故相关关系越强．

【答案】

C 3．观察下列各图，其中两个分类变量x、y之间关系最强的是(

) 22222

【解析】

在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．

【答案】

D 4．为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关，调查了339名50岁以上的人，调查结果如下表所示：

吸烟

不吸烟

合计

患慢性气管炎

43

13

56

未患慢性气管炎

162

121

283

合计

205 134 339 【解】

从题目的2×2列联表中可知：a＝43，b＝162，c＝13，d＝121，a＋b＝205，c＋d＝134，a＋c＝56，b＋d＝283，n＝a＋b＋c＋d＝339，代入公式：

K＝得k＝2a＋bnad－bc2c＋da＋c－205×134×56×283b＋d2，

≈7.469.

10

因为7.469>6.635，所以我们有99%的把握认为50岁以上的人患慢性气管炎与吸烟习惯有关系.

一、选择题

1．有两个分类变量X与Y的一组数据，由其列联表计算得k≈4.523，则认为“X与Y有关系”犯错误的概率为(

) A．95%

B．90%

C．5%

D．10% 【解析】

P(K≥3.841)≈0.05，而k≈4.523>3.841.这表明认为“X与Y有关系”是错误的可能性约为0.05，即认为“X与Y有关系”犯错误的概率为5%. 【答案】

C 2．(2013·大连高二检测)在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(

) A．平均数与方差 C．独立性检验 B．回归分析

D．概率

2【解析】

判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验，故选C. 【答案】

C 3．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅临界值表来确定推断“X与Y有关系”的可信度，如果k＞5.024，那么就推断“X和Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过(

) A．0.25 C．0.025 B．0.75 D．0.975 【解析】

∵P(k＞5.024)＝0.025，故在犯错误的概率不超过0.025的条件下，认为“X和Y有关系”．

【答案】

C 4．下面是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出(

)

11

图1－2－1 A．性别与喜欢理科无关

B．女生中喜欢理科的比为80% C．男生比女生喜欢理科的可能性大些

D．男生不喜欢理科的比为60% 【解析】

本题考查学生的识图能力，从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．

【答案】

C 5．在调查中发现480名男人中有38名患有色盲，520名女人中有6名患有色盲．下列说法正确的是(

) A．男、女患色盲的频率分别为0.038,0.006 193B．男、女患色盲的概率分别为，

240260C．男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别是有关的

D．调查人数太少，不能说明色盲与性别有关

38638【解析】

男人中患色盲的比例为，要比女人中患色盲的比例大，其差值为|480520480－6|≈0.0 676，差值较大．

520【答案】

C 二、填空题

6．某班主任对全班50名学生作了一次调查，所得数据如表：

喜欢玩电脑游戏

不喜欢玩电脑游戏

总计

2认为作业多

18

8

26

认为作业不多

9

15

24

总计

27 23 50 由表中数据计算得到K的观测值k≈5.059，于是________(填“能”或“不能”)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

【解析】

查表知若要在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认

12

为作业多有关，则临界值k0＝6.635.本题中，k≈5.059＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关．

【答案】

不能

7．独立性检验所采用的思路是：要研究A，B两类型变量彼此相关，首先假设这两类变量彼此________．在此假设下构造随机变量K，如果K的观测值较大，那么在一定程度上说明假设________．

【答案】

无关

不成立

8．某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：

专业

统计专业

10 20 222性别

非统计专业

男生

女生

13

7

为了检验主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据得到随机变量K的观测值为k＝－23×27×20×302≈4.844.因为k＞3.841，所以确认“主修统计专业与性别有关系”，这种判断出现错误的可能性为________．

【解析】

因为随机变量K的观测值k＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“主修统计专业与性别有关系”．故这种判断出现错误的可能性为5%. 【答案】

5% 三、解答题

9．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．试分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有关？

【解】

列出2×2列联表

2

有兴趣

无兴趣

总计

代入公式得K的观测值

2理

138

98

236

文

73

52

125

总计

211 150 361 k＝－236×125×211×150－42≈1.871×10. －4∵1.871×10<2.706，

∴可以认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关．

13

10．某校对学生课外活动进行调查，结果整理成下表：运用你所学过的知识进行分析，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“喜欢体育还是文娱与性别有关系”？

男生

女生

合计

体育

21

6

27

文娱

23

29

52

合计

44 35 79 【解】

其等高条形图如图所示．

由图可以直观地看出喜欢体育还是喜欢文娱与性别在某种程度上有关系，但只能作粗略判断，具体判断方法如下：

假设“喜欢体育还是喜欢文娱与性别没有关系”，

∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，

∴K的观测值为

2k＝2－＋＋＋2＋2≈8.106.

且P(K≥7.879)≈0.005，即我们得到的K的观测值k≈8.106超过7.879，这就意味着：“喜欢体育还是文娱与性别没有关系”这一结论成立的可能性小于0.005，即在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“喜欢体育还是喜欢文娱与性别有关”．

11．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：

甲厂：

分组

29.90)

29.94)

29.98)

30.02)

30.06)

30.10)

[29.86，

[29.90，

[29.94，

[29.98，

[30.02，

[30.06，

[30.10，

14

30.14) 频数

乙厂：

分组

29.90)

29.94)

29.98)

30.02)

30.06)

30.10)

30.14) 频数

12

63

86

182

92

61

4 [29.86，

[29.90，

[29.94，

[29.98，

[30.02，

[30.06，

[30.10，

29

71

85

159

76

62

18 (1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率；

(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.

优质品

非优质品

合计

附：K＝2甲厂

乙厂

0.01 6.635 合计

a＋bnad－bc2c＋da＋cP(K2≥k)

k b＋d0.05

3.841

【解】

(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计360为＝72%；

500320乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为＝64%. 500(2)

优质品

非优质品

合计

甲厂

360

140

500

2乙厂

320

180

500

合计

680 320 1 000 k＝

－500×500×680×320

15

≈7.353＞6.635，

因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的异质量有差”.

(教师用书独具)

2

在对人们休闲方式的调查中，已知男性占总调查人数的，其中有一半的休闲方式是51运动，而女性只有的休闲方式是运动．经过调查员计算，在犯错误的概率不超过0.05的前3提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么被调查的人中最少有多少人的休闲方式是运动？

【思路探究】

(1)设总共调查了n人，则其中男性有多少人？其中休闲方式为运动的有多少人？非运动的呢？

(2)被调查的女性有多少人？休闲方式是运动的有多少人？非运动的呢？

(3)根据题意，K的临界值为多少？K的观测值为多少？二者之间有什么关系？

2n【自主解答】

设总共调查n人，则被调查的男性人数应为n，其中有人的休闲方式553nn是运动；被调查的女性人数应为，其中有人的休闲方式是运动，列出2×2列联表如下：

5522

男性

女性

总计

运动

非运动

总计

2n

53n

5n

55n

52n 53n

5n

2n 5n

16

n由表中数据，得k＝－·55552n3n2n3n···5555n2nnn·2＝. 36n要使调查员在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“休闲方式与性别有关”，则nnk≥3.841.所以≥3.841.解得n≥138.276.又∈N*，所以n≥140.

3652所以被调查的人中，以运动为休闲方式的最少有140×＝56(人)．

5

本题属于逆向探求型问题，目的在于训练K公式的熟练应用．解题的关键在于根据犯错误概率的上界α确定临界值k0，然后设出未知数利用K≥k0列出不等式进行解决．这里运用了方程思想和化归思想．

有两个分类变量X与Y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：

22

x1

x2

合计

y1

a 15－a 15

y2

20－a 30＋a 50

合计

20 45 65 其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“X和Y有关系”？

【解】

查表可知：要使犯错误的概率不超过0.1，则K≥2.706，

65×[a而K＝22＋a－－a20×45×15×502－a22

＝a－50×45×602＝a－90×60，

因为K≥2.706，

所以a－90×6022≥2.706.

即(13a－60)≥1 124，

所以13a－60≥33.5或13a－60≤－33.5，

解得a≥7.2或a≤2.

a>5，又15－a>5，

所以5

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所以a＝6,7,8,9，

又因为a≥7.2或a≤2，所以a＝8或a＝9.

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