1.3 二项式定理（通用）ppt配套的教案及板书设计

《二项式定理（一）》教学设计

闽清第一中学 刘天飞 一、教学内容解析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。

二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。

教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础．通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。

二、学情分析

【学生情况分析】授课的对象是高中二年级中等程度班级的学生。他们具有一般的归纳推理能力，学生思维也较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程，因而对定理、公式不能做到灵活运用，更做不到牢牢记住。

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学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。

三、教学目标设置

1.知识技能目标

（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。

（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。

（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。

2.过程与方法目标

通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳－猜想－论证的思想方法,发展探究能力。

3.情感、态度、价值观目标

（1）培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；

（2）培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；

（3）培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．

4.德育渗透的目标

（1）培养学生“理论源于实践，用于实践”的观点。

（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心。

（3）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美。

四、教学重点、难点

重点：

（1）使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，理解和掌握二项展开式的规律。

2

（2）利用二项展开式的规律对二项式展开，进行相应的计算。

（3）区别“系数”、“二项式系数”等概念，灵活正用和逆用展开式。

难点：

掌握运用多项式乘法以及组合知识推导(ab)3的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。

五、教学方法

新课程标准指出，高中数学课应倡导自主探索，动手实践，合作交流等学习方式，应该力求通过不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，培养他们的创新意识。结合本节课的内容，我主要利用多媒体进行辅助教学，创设各种问题情境，使学生带着问题去主动思考、动手操作、交流合作，帮助学生构建完善的知识结构和正确的解题思路。

六、教学用具：PPT课件，实物展台等。

七、教学板书：主要内容呈现在PPT课件或实物展台。

八、教学过程

教学程序

问 题

设计意图

师生活动

创引出问题：如果今天是星期一，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？

师生归纳：比如23=7×3+2，所以23天后是星期日。

算法：用各个数除以7，看余数是多少，

再用五加余数来推算

师：再过82018天后是星期几，你知道吗？

不方便求出82018除以的余数，可以利用8=7+1，得到82018=(7+1)2018=? 设如果不用计算器的话,此时就需要研究提出问题激发学生探索欲望，并引出课题

让学生用计算器计算；应探讨新方法

问题情境

(ab)n?(nN*)

体会多项式乘法计算过22引入从特殊开始

由

新课

(a+b)=(a+b)×(a+b)=a+2ab+b; (a+b)=(a+b)×(a+b)=? 结果：(ab)a3ab3abb

33223322与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。

3 程,加深对因式展开原理的理解。

考察学生对探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开因式展开的式(ab)3(ab)(ab)(ab)

展开后

各项形式及①项的形式为：a3,a2b,ab2,b3

系数的理解。学生在思考②项的系数，考虑b，

教师提醒学探究观察展a3：每个都不取b的情况有1种，即C03 ,生，用计数原开可发现规则a3前的系数为C0理分析展开3

律，老师引导a2b：恰有1个取b的情况有C13种，则a2b前式的项数，应总结为后面的系数为C1当分析项中3

的字母是如做铺垫。幻灯ab2：恰有2个取b的情况有C23

种，则b2前何选取的，并片上通过动的系数为C23

引导学生分画演示取球b3：恰有3个取b的情况有C3过程。

3

种，则b3前析同类项的的系数为C33所以

个数，得到展

(ab)3C031222333aC3abC3abC3b

开式的系数．

探究二：观察展开式中的项数、指数变化以让学生通过巩固已有的及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）特例去观察思想方法，建4

,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数相同之处与立猜想与证变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。

不同之处，以明二项式定回答：

及不同之处理的认知基

的处理方法，础与理论依(ab)4C04132223444abC4ab3C4b

从而提出猜据．

4aC4abC想。帮助学生探究二给出，(ab)nC0n1n1rnrrnaCnabCnab

找到求出展这很好的突Cnn式系数的破了本节的nb(nN*)

开基本方法．

难点。

探究三：

让学生体会师生讨论证对于猜想(ab)nC0anC1n12n22利用组合思明思路，使学nnabCnab...

想从特殊到生体会新知，CrnrrCnnnab...nb我们如何进行证明呢？

一般，对猜想发现新知，理证明：(ab)n是n个(ab)相乘，每个(ab)给出严谨的解新知，在获证明过程。并得新知的过在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分理解如何用程中体会数

4

步计数原理可知展开式共有2n项（包括同类“说理”的方学的乐趣，从式阐述证明而提高学生项），其中每一项都是anrbr(r0,1,n)的形过程。

学习数学的式，对于每一项anrbr，它是由r个(ab)选兴趣．

了b，n－r个(ab)选了a得到的，它出现的次数相当于从n个(ab)中取r个b的组合数Crn，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？

学生继续总(1)项：二项展开式共有n1项；

结这三点，以(2)次数：各项的次数都等于n；

考察学生的强化已有的字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字观察力，以及认识，同时老母b按升幂排列，次数由0递增到n 分析问题的师强调：二项k能力。

式系数，与二思考(3)二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

项展开式系观察

(4)二项展开式的通项：T数的区别。

k1=Ckankbk

n学习特殊的情况

对二项式定新课

1.用-b代替b. 理的简单应学生自主完用，同时也是成，老师进行写出（ab）n的展开式

告诉学生二检查，通过投

项式定理在影仪将学生2.令a=1,b=x. 解决问题时的结果进行写出（1x）5的展开式

的方法：赋值展示，错误时

或是赋表达做出点拨与式。

分析。

类型1：求二项式的展开式

学生独立完教师说明:比一、成，通过投影较复杂的二4尝试例1：求 仪指出学生项式,有时先2x1在书写过程化简再展开二项x的展开式. 中的不足。学更方便，建议式定

生可能出现学生用第二理的

的两种解法，中方法。【追应用

重点强调方问】例题中的

法二，先通分第二项，第二化简，再运用项系数，第二

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方法一：直接展开；方法二：先化简后展开。

二项式定理项的二项式展开，降低计系数分别是算难度。

多少？

类型2：二项式的系数与项的系数问题

例2：已知二项式(1-2x)5 ，求

熟悉二项式定理，以及对学生自主练(1) 展开式中第4项？

二项式系数，习，反馈教学

（2）(1-2x)5展开式系数，效果，老师巡的展开式的第4项的系数是

___ 以及x的系数视做个别辅（3）(1-2x)5的展开式的第4项的二项式系问题的理解导。

与记忆。

数是

_______ 让学生熟悉求二项展开二项通项，培式的特定项养学生的运算能力．设计可通过通项类型3：求二项式展开式中的特定项. 9题目考察学解决，展开式

例3：求

x生的学习情中通项的处33x展开式中x3的系数. 况,三个例题理板书示范

设计的比较有梯度，逐渐给学生看先加大难度，符整理系数再合学生的认整理x的指知水平．

数。

今天是星期一, 再过82018天后是星期几，你学生提出解知道吗？

决思路，老师

82018(71)2018

破解疑惑让点评分析，怎

学生感受计么才能被7整破解C0201820187C1201872017C201720187C20182018

算的简单与除好计算呢?疑惑

7(

C0201720187C1201620187C2017快捷，增强对联想二项式2018)1

数学学习的定理的表达

即82018除以7余数是1。 热情，

形式，问题得故再过82018天后的那一天是星期二。 到解决，留为

课下计算。

探究设置问题在有了上面一整除

学生最近发题做铺垫，大

若将82018除以9，则得到的余数是多少？ 展区，跳一部分学生都思维跳，够得着。观察出将8写拓展

知识的灵活成9-1来解决

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运用，对所学问题。学生解新知识点有决问题的能效提升。

小结可以锻炼学生的概括能力、语言课堂小结

本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的表达能力，可呢？本节课有什么方法收获？本节课涉及到以使学生加哪些数学思想？

深对本节课的认识，掌握基本数学思维方法．

1、课本37页

习题1.3 A组 2、3、5、8

2、思考：在x1x2的展开式中，含布置作业

4x的项的系数是________．

3、思维拓展型作业：

探究二项式系数C,C,C,

0n1n2nnn5力得到了提升。

学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。

通过课后作业使学生深入理解知识，培养学生的创新精神、增强主动探究的意识和能力．

C

有何性质.

九、板书设计

1.3.1二项式定理

0n1n1rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb(nN*)例题1 例题2 例题3 (1)项：二项展开式共有n1项；

(2)次数：各项的次数都等于n；

字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n k(3)二项式系数：Cn(k{0,1,2,,n})

knkk(4)二项展开式的通项：Tk1=Cnab

教学设计说明

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二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．

本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”，在教学中，采用“问题――探究”的教学模式，

把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．

本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面的二项式展开式的推导作铺垫．再以(ab)3，(ab)4为对象进行探究，引导学生用计数原理进行再思考，分析各项以及项的个数，这也为推导(ab)n的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．

总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．

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