一 比较法教案设计范例

证明不等式的基本方法——比较法（教案） 贵州省大方县第三中学 李德军

一．教学目标

（一）知识目标

（1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想；

（2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；

（3）学会用“等价转化”的数学思想解决数学问题。

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生动手、观察、比较、抽象、概括的能力，通过交流、合作、探究等方式学习；

（三）德育目标

（1）通过实验激发学生学习的情趣；

（2）让学生养成良好的自主学习的习惯。

二．教学的重难点及教学设计

（一）教学重点

不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的

（二）教学难点

借助与0或1比较大小转化的数学思想，作差或作商变形是本节

的难点

（三）教学设计要点

1.情境设计

用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。

2.教学内容的处理

在作业中布置了作差法、作商法的习题，让同学们课后巩固比较法。

3.教学方法

探究、合作交流、启发引导。

三．教具准备

水杯、水、白糖、调羹、粉笔等

四．教学过程

(一)、新课学习：

1.情境导入

学生活动——做数学实验

如果用a千克白糖制出千b克糖溶液，a则其浓度为；若在上述溶液中加bam入白糖，此时溶液的浓度增加到，bm

感觉甜了许多，你能从数学的角度说明这个问题吗？

ama 这个事实告诉我们：,你能证明这个不等式吗？这个bmb不等式的证明可以用今天我们将要学习的比较法来证明。（板书课题）2.自主学习

学生阅读课本第21页—22页。

3.生师合作

（1）温故知新

作差比较法的依据：

abab0

abab0

abab0

作商比较法的原理和步骤：

a,bRabab1abab1abab1

作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

（2）比较法

根据上面的两个依据，我们可将有些不等式的两边作差与0比较，或者作商与

1比较，这种证明不等式的方法叫做比较法.

（3）讲解例1、已知a,b都是正数，且ab，求证：a3b3a2bab2. 证明：

(a3b3)(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(a2b2)(ab)(ab)2(ab)

ab,a,b0(ab)20,ab0(ab)2(ab)0a3b3a2bab2总结提升: 作差比较法的步骤：作差—变形（化简）—定号（差值的符号）

—得出结论

（4）探究

前面的实验告诉我们：实验后的浓度大于试验后

ama,你能证明吗？

b+mb（学生在下面完成，老师点评）

已知a,b,m都是正数，且ab,的浓度，把这个实验抽象成数学问题为：：

(5)讲解例2 已知a,bR,求证：aabbabba. 证明：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设ab0

差值比较法失效采用商值比较法：

a1,ab0,

baabbabaaabb(ab)()ababb aab当ab时（）1baaab当ab0时，1,ab0,（）1bbaaab当ba0时，0<1,ab0,（）1bbaabbabba

故原不等式得证. 总结提升：作商比较法的步骤：作商—变形（化简）—判断（商值与实数1的关系）—得出结论

4.学生练习

（）已知1ab,求证：a3b3ab(ab).

（2）已知a，b是正数,求证：ab(ab)abab2

5.学生小结

亲爱的同学，这节课你学到了什么？

学生1：

学生2：

作业：

课本23页第2、3、4题。

（要求：按照课堂上老师演示做题的形式和格式，解题过程中做到有逻辑性、条理性、步骤要有理有据)

五.板书设计 1.比较法

（1）作差法依据

（见上面）

（2）作商法依据

（见上面）

2.例1讲解

3.例2讲解

作差变形的方法：

结果大多数化成指{因式分解法、通分数函数的形式，用指法、配方法} 数函数的性质与单最终比较差与0的调性，比较最终结果大小关系

六.教学反思

没有情境，就没有问题。情境创设调动了学生学习的积极性，尤其以实验的方式进行，使得课堂更加活跃，激发学生学习的情趣，也鼓舞了我的教学热情，同学们用多种多样的思维方式去解题，拓宽了自己的思路，这就要求我在今后备每一节课时，要尽量的去思考一题多解。

与1的大小关系