2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率教学创新设计

直线方程的概念和直线斜率

东莞中学松山湖学校 牛红影

一．教材分析

（一）

教学内容

教材由直线的倾斜程度引出了倾斜角的概念，用坡度引出了描述倾斜程度的另一个量——斜率，研究了倾斜角和斜率之间的关系，并推导得出了直线过两点的斜率公式。

（二）

地位与作用

《直线的倾斜角和斜率》是进一步研究直线的基础,也为我们研究直线与曲线的位置关系打下坚实的基础.

（三）

教学重点和难点

重点：直线的倾斜角和斜率概念，用代数方法刻画直线斜率的过程. 难点：对斜率概念以及斜率和倾斜角之间的关系的理解，过两点的直线的斜率公式的建立. 二. 教学目标分析

（一）

知识与技能

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念

2．掌握过两点的直线的斜率公式，会求直线的斜率和倾斜角

3．理解直线的倾斜角和斜率之间的相互关系

（二）

过程与方法

通过引导学生亲自动手尝试推导、归纳出过两点的直线的斜率公式,培养学生观察、辨析、归纳问题的能力. （三）

情感、态度与价值观

通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探索的乐趣与成功的喜悦，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神. 三. 学情分析

1．学生对直线有一定的了解，但是倾斜角和斜率这两个概念对于学生来说是全新的。对它们之间关系的理解还需要一个过程。

2．学生对“任何一直线都有倾斜角，但却并不一定有斜率”、“有斜率就一定有倾斜角”、“倾斜角增大，斜率就增大吗”等概念性问题，开始可能都会比较模糊，难以形成一个清晰的知识条理结构；

3．斜率公式的代数刻画过程以及斜率公式应用的范围等都体现了数学分类的思想和数学的严谨性，对学生来说也是一个挑战。

4．针对以上情况，教学时宜采用启发式教学，合作讨论，同时结合多媒体，破解教学重难点，帮助学生完成知识的构建。

四．教学方法与手段 （一）

教学方法: 探究法：教师引导学生提出问题,观察、讨论、交流,由学生尝试作出初步的判断.

（二）

学法指导：引导学生提出问题、思考问题、解决问题. （三）

教学手段：借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性．

五.教学基本流程

师生共同课堂总结

六、教学过程分析

一、知识导入

问题：经过一点P的直线L的位置能确定吗? 预案：不能。

对，很明显。如图, 过一点P就可以作无数多条直线。那么，

问题：这些直线之间又有什么联系和区别呢? 短暂思考和讨论后，学生可以回答

预案：(1)它们都经过点P；(2)它们的‘倾斜程度’不同。

那么，我们应该怎样描述这种不同直线‘倾斜程度’的不同呢？

〖设计意图〗帮助学生回顾初中学习过的有关直线的知识，并引入新课

二、知识探索

(一)直线倾的斜角

1．定义：直线L与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线L向上的方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角。

教师指出：对于定义的理解，我们强调的是x轴正向与直线L向上的方向所成的角。为了帮助学生加深理解，。如下图所示：

推导过两点的直线斜率学生活动，巩固练习

创设情境

直线的倾斜角

教师在演示的过程中再次向学生强调：从x轴正方向出发，到直线向上的方向之间所成角就是直线L的倾斜角。

〖设计意图〗数形结合，向学生动态、直观的展示给定直线倾斜角的形成过程，加深学生对概念的理解。

【快速练习一】

1．下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )

A B C D 2．请标出下列四个坐标系中直线L的倾斜角。

〖设计意图〗该题组的设计均为加深学生对倾斜角概念的理解。第一题比较简单，通过PPT展示出来后，让学生集体回答即可。

问题：直线l4的倾斜角是多少呢？我们对于此类直线，也就是当直线L与x轴平行或是重合时，我们规定它们的倾斜角均为0。

00所以，根据上述四种情况，我们可以得到直线L倾斜角的范围为：0≤＜180。

〖设计意图〗用实例帮助学生确定倾斜角的范围.

问题：在平面坐标系中，每一条直线有多少个倾斜角呢？

预案：有且只有一个。

问题：一个倾斜角对应的直线有多少条呢？

预案：无数条。它们都是互相平行的。如右图。

所以仅有倾斜角是不能确定直线的！

问题：倾斜角再加什么条件就可以确定直线呢？

预案：再加一个点。即一个点P和倾斜角可以唯一确定一条直线。

〖设计意图〗每提出一个问题，让学生自己先行思考，或是合作讨论，老师再加以点评。以加深对直线倾斜角的理解，明晰直线和倾斜角之间的关系。

（二）直线的斜率

问题：除了倾斜角外，我们还有没有其他表示倾斜程度的量呢？

学生可能难以回答此问题。老师可以慢慢引导。

在日常生活中，我们还会遇到一个叫“坡度”的概念，坡度即是坡面的铅直高度和水平长度之比（如右图）。其实坡度的实际就是倾斜角的正切。用类似的方法我们可以定义一个新的量来刻画直线的倾斜程度。

1．直线斜率的定义：我们把直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。用小写字母

k

表示，即ktan。

【快速练习二】

已知直线的倾斜角如下，分别求出其斜率。

0

（1）45 （2）135 （3）30 （4）120

〖设计意图帮助学生理解斜率的定义，并帮助学生回忆特殊角的正切值，为下面总结斜率与倾斜角的关系做铺垫.

教师：从上面的运算或是正切的计算可以得到：（设直线的倾斜角为）

①090k0 ②90180k0 2．过两点的直线斜率的公式

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度了。我们知道，如果给定直线的倾斜角0000000090，我们当然可以根据斜率的定义ktan求出直线的斜率；我们也知道，两点确定一条直线，也就是给定直线上两点坐标，直线就确定了，倾斜角也就确定了，那么怎么求出该直线的斜率呢？也就是：

问题：已知直线L上两个点的坐标P1(x1,y1),P2(x2,y2)，x1x2，如何求直线L的斜率呢？

对于这个问题，学生一下难以回答。教师可以先给出一个图形（图一），一定要让学生结合图形思考，先让学生提出思路，教师启发引导，最后共同完成公式的推导（图二）,得出ky2y1。

x2x1

图一 图二

教师：我们知道倾斜角还有可以是钝角，那么当为钝角时，公式还成立吗？请同学们自己推导。让一个学生到黑板上推导。

〖设计意图〗学生自己动手，互相讨论可以更加深入的理解直线斜率公式. 问题：当=0时，公式k0y2y1yy10还成立吗？当=90时，公式k2还成立吗？

x2x1x2x10③0k0 ④90k不存在

问题：与P1，P2在直线上的顺序有关吗？

预案:无关.即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子、分母不能交换。

问题：从几何角度怎样理解公式中要求x1x2呢？

预案：当x1x2，直线垂直x轴，倾斜角为90，此时斜率不存在。所以一定要注意公式适用00

的范围。

0〖设计意图〗利用过两点的直线的斜率公式可以更加直观的理解当0k0 当900k不存在，并注意到公式的适用范围.

教师：到现在为止，我们用代数的方法刻画出了直线的斜率公式。我们也有两种方式来求直线的斜率了。一是利用倾斜角，二是利用直线上两点的坐标。而且我们还可以先利用直线上两点的坐标算出斜率，进而求得直线的倾斜角。

三、知识应用

例1：已知三点A(3,2)、B(-4,1)、C(0,-1)，求直线AB,AC,BC的斜率并判断其倾斜角是锐角还是钝角？

〖设计意图〗巩固对斜率与倾斜角的理解。

例2：已知A（18，8），B（4，－4）；C（5，－2），D（5，3）；E（0，0），F（-1，2）；P（6，1）

，Q（13，1）；

求直线AB、CD、EF、PQ的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

〖设计意图〗斜率公式的直接应用和斜率的正负与倾斜角之间的关系。

练习：

1．已知A(3,5), B(x,7), C(1,1)三点共线，则x=______. 。

〖设计意图〗斜率公式与倾斜角的直接应用。

2．求经过点A(2，-1)和点B(a，-2)的直线L的斜率，并讨论a为何值时，直线L的倾斜角是锐角、钝角、直角？

〖设计意图〗例2知识点的延伸，同时隐含了分类讨论的思想。

3．已知三点A(a，2)，B(3，7)，C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值。

〖设计意图〗加深对斜率公式的理解，让学生明白斜率的求得与直线上的点的选择无关。同时此题也是用斜率研究三点共线问题，为后面的学习做铺垫。

〖题组设计意图〗整个练习的设计围绕斜率和倾斜角展开，由浅入深。同时注意了知识的承上启下和数学思想的渗透。

四、知识小结

001、直线的倾斜角定义及其范围：0≤＜180

2、倾斜角和斜率k之间的关系：

①090k0 ②90180k0

③0k0 ④90k不存在

000000

3、直线斜率的两种求法：

①若已知倾斜角(900)时，ktan

②若知直线过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)且x1x2，ky2y1

x2x1七、目标检测设计

1．如下图所示，表示为直线L的倾斜角的是（ ）……………〖倾斜角的定义〗

A B C D 2．下列命题

①若直线的倾斜角，则直线的斜率为tan ②一条直线的倾斜角可以是30

0

③倾斜角为为0的直线只有一条

④任何一条直线都有唯一的倾斜角，但并不一定有斜率

其中正确命题的个数是（ ）……………………………〖倾斜角概念、与斜率的关系〗

A．1 B．2 C．2 D．4 03，且经过点A(1,-2)，B(2,m)，则m的值为（ ）

471111A． B． C．2 D．

4443．已知直线L的斜率为…………………………〖斜率公式的直接应用〗

4．直线L的倾斜角是斜率为3的直线的倾斜角的2倍，则直线L的斜率为（ ） 323 D．3

3A．1 B．3 C．…………………………〖倾斜角与斜率的关系〗

5．过A（-2，0），B（-5，0）两点的直线的斜率为 ，倾斜角为 。

…………………………………〖概念直接应用〗

6．已知三点A2,3,B4,3,C5,m在同一直线上，则m的值为 2………………………………〖斜率公式的应用〗

7．若过点P(1a,1a),Q(3,2a)的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为 ………………………〖斜率倾斜角综合应用〗

08．已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60。

……………………〖斜率公式和分类讨论思想〗

9．直线l过点P1,2且与以A2,3,B3,0为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围。

…………………〖斜率公式和数形结合思想〗