2.3.2 圆的一般方程优质课教案内容

2.3.2

圆的一般方程

[学习目标]

1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.

[知识链接] 1.圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，它的圆心坐标为(a，b)，半径为r. 2.点与圆的位置关系有点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以利用代数法与几何法进行判断. [预习导引] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 DED＋E－4Fx＋2＋y＋2＝配方得：. 224DE－，－；

(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点，该点的坐标为22(2)当D2＋E2－4F<0时，方程不表示任何图形；

DE1－，－，半径等于(3)当D2＋E2－4F>0时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐标为222D2＋E2－4F，上述方程称为圆的一般方程. 2.比较二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，可以得出以下结论：当二元二次方程具有条件：

(1)x2和y2的系数相同，且不等于0，即A＝C≠0；

(2)没有xy项，即B＝0；

(3)D2＋E2－4AF>0时，它才表示圆. 22

要点一

圆的一般方程的概念

例1

下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径. (1)2x2＋y2－7y＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；

(4)2x2＋2y2－5x＝0. 解

(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆.

(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项. ∴它不能表示圆. (3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，

∴它不能表示圆. 55x－2＋y2＝2，

(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为4455，0为圆心，为半径长的圆. ∴它表示以44规律方法

二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0. 跟踪演练1

如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________. 5－∞，

答案

4解析

由题意可知(－2)2＋12－4k>0，

5即k<. 4要点二

求圆的一般方程

例2

已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径. 解

方法一

设△ABC的外接圆方程为

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

∵A，B，C在圆上，

1＋16＋D＋4E＋F＝0，∴4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，

D＝－2，∴E＝2，F＝－23，

∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝25. ∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5. 方法二

设△ABC的外接圆方程为

(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，

1－a＋4－b＝r，222∴－2－a＋3－b＝r，4－a2＋－5－b2＝r2，a＝1，解得b＝－1，r＝5，222

即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，

∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0. 4－314＋5方法三

∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，

1＋231－4∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以角A为直角的直角三角形. ∴圆心是线段BC的中点，

1坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5. 2∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25. 展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0. 规律方法

应用待定系数法求圆的方程时：

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F. 跟踪演练2

已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程. 解

设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

2D＋2E＋F＋8＝0，由题意得5D＋3E＋F＋34＝0，3D－E＋F＋10＝0，

D＝－8，解得E＝－2，F＝12，

即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 要点三

求动点的轨迹方程

例3

等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？

解

设另一端点C的坐标为(x，y). 依题意，得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得x－42＋y－22

＝4－32＋2－52，

整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10. 这是以点A(4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.

因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5). 又因为点B、C不能为一直径的两个端点，

x＋3y＋5所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1). 22故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，

10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点. 规律方法

求与圆有关的轨迹问题常用的方法. ①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式. ②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程. ③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程. 跟踪演练3

已知直角△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程. 解

方法一

设顶点C(x，y)，

因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，

所以x≠3且x≠－1. yy又kAC＝，kBC＝.且kAC·kBC＝－1，

x＋1x－3yy所以·＝－1，

x＋1x－3化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为

x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1). 方法二

△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，

即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，

化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为

x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).

1.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(

)

A.(2,3)

C.(－2,－3)

答案

D B.(－2,3) D.(2,－3) DE解析

－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3). 222.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(

) 1A.k≤

21C.k≥

2答案

D 1解析

方程表示圆⇔1＋1－4k>0⇔k<. 23.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(

) A.以(a，b)为圆心的圆

C.点(a，b)

答案

D 解析

原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b). 4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________. 答案

11

4B.以(－a，－b)为圆心的圆

D.点(－a，－b) 1B.k＝

21D.k<

2解析

∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，

311∴r＝5－m＝，∴m＝. 245.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________. 答案

3 |3×1＋4×2＋4|解析

圆心(1,2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3. 5

1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出适当方程，以便简化解题过程. 3.曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.