2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式精品学案

2.1.2

平面直角坐标系中的基本公式

学习目标

1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离. 2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．

知识点一

两点的距离公式

已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

思考1

当x1≠x2，y1＝y2时，d(A，B)＝？

答案

d(A，B)＝|x2－x1|. 思考2

当x1＝x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？

答案

d(A，B)＝|y2－y1|. 思考3

当x1≠x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？请简单说明理由．

答案

如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12.

即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝x2－x12＋y2－y12. 梳理

两点间的距离公式

A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12；

当AB垂直于y轴时，d(A，B)＝|x2－x1|；

当AB垂直于x轴时，d(A，B)＝|y2－y1|；

2当B为原点时，d(A，B)＝x21＋y1. 知识点二

中点坐标公式

x1＋x2已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝，2y1＋y2y＝. 2

1．点P1(0，a)，点P2(b，0)之间的距离为a－b.(

×

) 2．点P(x1，y1)关于点M(x0，y0)的对称点是P′(2x0－x1，2y0－y1)．(

√

)

类型一

两点间的距离公式

例1

(1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为(

) A．42

C．122

B．82 D．162 (2)若A(－5,6)，B(a，－2)两点的距离为10，则a＝____________. 答案

(1)C

(2)1或－11 解析

(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，

∴|AB|＝－3－42＋2－12＝50＝52，

|BC|＝[0－－3]2＋5－22＝18＝32，

|AC|＝0－42＋5－12＝32＝42. ∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝122. (2)∵|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝－5－a2＋6＋22＝10，

∴a＝1或－11. 反思与感悟

两点间的距离公式应用的两种形式

(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可．

(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．

跟踪训练1

已知点A(－3,4)，点B(2，3)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，并求出d(P，A)．

解

设P(x,0)，由题意得

d(P，A)＝x＋32＋0－42

＝x2＋6x＋25，

d(P，B)＝x－22＋0－32

＝x2－4x＋7. 由d(P，A)＝d(P，B)，

即x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，

9化简得x＝－，

59－，0，

故点P的坐标为5d(P，A)＝

－3＋92＋42＝2109. 55类型二

中点公式及应用

例2

已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C，D的坐标．

解

设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点，得

x，－3＝4＋22＋y4＝2，11

x1＝－10，得

y1＝6.

设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点，得

x，－3＝5＋27＋y4＝2，22x2＝－11，得

y2＝1，

故C点坐标为(－10,6)，D点坐标为(－11,1)．

反思与感悟

中点公式应用的步骤

(1)认真审题，提炼题设中的条件．

(2)将条件转化为与中点有关的问题．

(3)利用中点公式求解．

(4)转化为题目要求的结果．

特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3，33. 跟踪训练2

(1)已知三点A(x,5)，B(－2，y)，C(1,1)，且点C是线段AB的中点，求x，y的值；

(2)求点M(4,3)关于点N(5，－3)的对称点．

2＝1，x－2解

(1)由题意知，5＋y2＝1，

x＝4，解得

y＝－3.

(2)设所求点的坐标为(x，y)，则y＋32＝－3，x＝6，解得

y＝－9，x＋4＝5，2

故所求对称点的坐标为(6，－9)．

类型三

坐标法的应用

例3

证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

证明

如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0,0)．

设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)．

因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2，

所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，

所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2. 因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．

反思与感悟

用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．

跟踪训练3

证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．

证明

如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，一直角边CA所在直线为x轴，ab建立直角坐标系，则C(0,0)．设A(a,0)，B(0，b)，则斜边中点M的坐标为2，2.

因为|OM|＝

|BM|＝

a2b2122＋＝a＋b，

442a2b2122＋－b＝a＋b，

422

|MA|＝

a－a2＋b＝1a2＋b2，

2422所以|OM|＝|BM|＝|MA|. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．

1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于(

) A．52

C．517

答案

D 解析

d(A，B)＝2＋32＋15－52

＝52＋102＝55. 2．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则(

) A．原点一定是线段AB的中点

B．A，B一定都与原点重合

C．原点一定在线段AB上但不是中点

D．以上结论都不正确

答案

D 解析

由a2＋b2－c2＋d2＝0，

得a2＋b2＝c2＋d2，即d(O，A)＝d(O，B)．

所以点A、B到原点O的距离相等，

故选项A、B、C错误，故选D. 3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是(

) A．等边三角形

C．直角三角形

答案

B 4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________. 答案

6 a－2b＋6解析

由中点公式得2＝，3＝，

22∴a＝6，b＝0. ∴a＋b＝6.

B．等腰三角形

D．无法确定

B．513 D．55

5．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)，B(－1,3)，C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．

解

分以下三种情况(如图所示)．

(1)以AC为对角线构成▱ABCD1.设D1(x1，y1)，

15AC的中点坐标为2，2，其也为BD1的中点坐标，

1－1＋x153＋y1∴＝，＝，

2222∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)．

(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)．

(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．

由以上可知，第四个顶点D的坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0)．

1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．

2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．

一、选择题

1．已知点A(－3,4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于(

) A．0或8

C．0或6

答案

A 解析

由－32＋4－b2＝5，

解得b＝0或8. 2．点A(2，－3)关于坐标原点对称的点的坐标为(

) A．(3，－2)

C．(－2,3)

B．(－2，－3) D．(－3,2) B．0或－8 D．0或－6

答案

C 解析

设所求点的坐标为B(x，y)，则由题意知，坐标原点是线段AB的中点，则x＝0，2＋2－3＋y2＝0，

解得x＝－2，y＝3.故选C. 3．若点P(x，y)到两点M(2,3)，N(4,5)的距离相等，则x＋y的值为(

) A．5

C．7

答案

C 解析

由两点间距离公式，得x－22＋y－32＝x－42＋y－52，两边平方，得x＋y＝7，故选C. 4．已知△ABC的两个顶点A(3,7)，B(－2,5)，若AC，BC的中点都在坐标轴上，则点C的坐标是(

) A．(－3，－7)

C．(3，－5)

答案

D 解析

设C(x，y)，显然AC，BC的中点不在同一条坐标轴上．若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则有y＋7＝0，－2＋x＝0，即C(2，－7)；若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上，则有3＋x＝0,5＋y＝0，即C(－3，－5)．

5．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(

) A．5

C．25

答案

C 解析

设A(a,0)，B(0，b)，

ab则＝2，＝－1，

22解得a＝4，b＝－2，

∴|AB|＝25. 6．若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(

) A．(－2,0)

3C.2，0

答案

D B．(1,0) D．(34，0) B．42 D．210 B．(－3，－7)或(2，－5) D．(2，－7)或(－3，－5) B．6 D．不确定

解析

设M(x,0)(x>0)，则由已知得x2＝52＋32＝34. 又x>0，∴x＝34，∴M(34，0)．

7．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射之后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为(

) A．52

C．1010

答案

D 解析

点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由光线的对称性可知，从点A到点B的光线距离就是线段AB′的长度．|AB′|＝[2－－3]2＋－10－52＝510. 8．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(

) 7A．－

21C.

2答案

C 解析

|AB|＝

＝

a＋1－52＋a－4－2a＋12

1B．－

27D.

2B．25 D．510 12a2－2a＋25，∴当a＝时，|AB|最小．

2二、填空题

9．已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________．

答案

17 2，1＝x－2解析

由题意知，5－3y＝2，∴d＝42＋12＝17.

x＝4，解得

y＝1.

10．已知平行四边形ABCD的三个顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则顶点D的坐标为________．

答案

(x1＋x3－x2，y1＋y3－y2) 解析

先求出AC的中点坐标，然后再由中点坐标公式求D点坐标．

11．等腰△ABC的顶点是A(3,0)，底边长BC＝4，BC边的中点是D(5,4)，则此三角形的腰长为________．

答案

26 1解析

|BD|＝|BC|＝2，

2|AD|＝5－32＋4－02＝25.

在Rt△ADB中，

由勾股定理，得腰长AB＝22＋252＝26. 三、解答题

12．已知四边形ABCD的顶点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3，0)，E，F分别为边AB，BC的中点，求CE，DE，AF，DF的长度．

解

设线段AB的中点为E(x，y)，

则x＝－4＋22＝－1，y＝3＋52＝4，

则d(E，C)＝－1－62＋4－32＝52，

d(E，D)＝[－1－－3]2＋4－02＝25. 即CE，DE的长度分别为52，25. 设线段BC的中点为F(m，n)，

则m＝2＋62＝4，n＝5＋32＝4，

则d(F，A)＝[4－－4]2＋4－32＝65，

d(F，D)＝[4－－3]2＋4－02＝65. 即AF，DF的长度都为65. 13．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)．

(1)判断△ABC的形状；

(2)求△ABC的面积．

解

(1)由已知，d(A，B)＝－1－12＋3＋12

＝20＝25，

d(A，C)＝3－12＋0＋12＝5，

d(B，C)＝3＋12＋0－32＝25＝5.

∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，

∴△ABC是以顶点A为直角顶点的直角三角形．

(2)由角A为直角，得

S11△ABC＝2|AB|·|AC|＝2×25×5＝5. 四、探究与拓展

14．已知点A(－1,3)，B(3,1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是(

A．1

B．2

C．3

D．4 答案

C 解析

若点C在x轴上，设C(x,0)，由∠ACB＝90°，

)

得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，

∴(－1－3)2＋(3－1)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，

解得x＝0或x＝2. 若点C在y轴上，设C(0，y)，由|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，

可得y＝0或y＝4.∴所得点C共有3个．

15．已知以点A(－3，y)与点B(x,2)为端点的线段的中点C在x轴上，O为原点．

(1)若|OC|＝1，求点C的坐标；

(2)当|AC|取最小值时，求点A关于点C的对称点坐标．

解

由中点坐标公式，得点C的坐标为由于点C在x轴上，所以y＝－2，

即A(－3，－2)．

(1)∵|OC|＝1，∴解得x＝5或1，

即点C的坐标为(1,0)或(－1,0)．

(2)∵|AC|＝

x－32＝1. x－3y＋22，2，

x－3＋32＋0＋22＝

2x＋32＋4，

2∴当x＝－3时，|AC|有最小值2，

∴C(－3,0)．

∴点A关于点C的对称点坐标为(－3,2)．