1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球全国优秀课堂实录

长方体外接球的有关问题

教学设计

绥中利伟高中

数

学

组

苏

函

长方体外接球的有关问题

教学分析：

球是高考出题的热点之一，在近几年的高考题中都有出现。球经常和

其它空间几何体相结合出题，以选择题或填空题的形式出现。

学情分析：

学生在高一刚刚接触立体几何，一部分学生只能解决简单的立体几何问题，稍复杂一点就不会了。

教学目标：

知识与技能：学生学会用构造法解决空间几何体的外接球问题。

过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感、态度、价值观：

完善学生知识体系，

增进学生对数学的信心和兴趣。

数学核心素养的体现：培养学生数学建模、直观想象的核心素养，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养。

重点：学会转化的思想方法。

难点：构造法的要点。

教学内容及过程

教学环节

教学内容

师生活动设计

设计意图

一

复

习

引

入

二

新

课

讲

授

教师提问

学生根据以前的学习内容回忆相关知识

3观察长方体

问：观察长方体几个顶点几条棱几个面

选6个顶点构成三棱柱如何选

选五个顶点构成四棱锥如何选

选四个顶点构成三棱锥如何选

学生思考回

答

构建平台：求棱长分别为1,2,3的长方体

的外接球的半径

师：引出课题

提问什么是

长方体的外接球

生：思考回答问题，并尝试将长方体的八个顶点都

画到同一个

球面上

1球的性质、表面积、体积

2求正方形，矩形外接圆的半径

温故而知新

为后面新课的学习做好铺垫

从学生熟悉的几何体开始复习，为进一步学习做好准备

构建模型

使学生更直观的感受什么是长方体的外接球

培养学生的直观想象的数学核心素养

新

课

讲

授

问题一：长方体外接球的球心在哪

问题二：如果已知长方体的长宽高，那么外接球的半径怎么求？

建模出结论：2R=

其中：R为外接球半径，a、b、c分别为长方体的长宽高

例1.（2016课标全国II，4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）

A. 12π

B. 24π

C. 8π

D. 4π

变1 如图，求底面为直角三角形的直棱柱的外接球的半径

变2 如图，求底面为矩形的四棱锥外接球半径

变3 如图，求底面为直角三角形的三棱锥的外接球半径

学生尝试找到球心并加以证明进而求出外接球的半径

根据结论快速解题

思考：

1.这些几何体有什么共同的特征

2.如何借助长方体的知识来解决其他几何体外接球的问题

培养学生数学运算素养

提升探究能力和逻辑推理能力

熟悉结论并会应用

培养学生特殊问题一般化的思维

完善学生的知识体系

三

高

考

再

现

四

课

堂

小

结

五

课

后

作

业

例2.(2015湖北高考题）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，现已知一阳马的底面的长和宽分别为4和3，高为12，求该阳马外接球的表面积。

变式2.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，现已知一鳖臑的底面直角边分别为2和4，高为5，求其外接球的体积。

1.本节课有何收获？

2.关于长方体的外接球该如何求？

具有长方体特点的几何体的外接球问题，可以借助还原成长方体的方法来求得外接球半径

1. （2016黑龙江联考）已知三棱锥P-ABC中，PA ⊥底面ABC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=√3，则该三棱锥外接球的体积是多少？

2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，且AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，则球O的表面积是多少？

师：找学生读题，分析题意

生：从题中提取出有效信息，并进行计算

师：强调转化思想在数学中的重要性

生：回忆学到了哪些知识并进行总结

课后独立完成

将立体几何与数学文化结合，达到高考考试大纲的要求

提高学生数学运算和直观想象的数学核心素养

培养学生的总结归纳能力

对所学知识进行巩固

加深印象